Calcule o ângulo \theta entre os vetores
\vec{a}=(-3,1) e \vec{b}=(3,-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo \theta entre os vetores \vec{a}=(-3,1) e \vec{b}=(3,-1). Vamos usar produto interno e normas de vetores para aplicar a fórmula
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}.

Passo 2

Calcular o produto interno:
\vec{a}\cdot\vec{b} = (-3)\cdot 3 + 1\cdot(-1) = -9 -1 = -10.

Passo 3

Calcular as normas:
\|\vec{a}\| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}, \quad \|\vec{b}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}.

Passo 4

Obter \cos\theta:
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|} = \frac{-10}{\sqrt{10}\,\sqrt{10}} = -1.

Passo 5

Como \cos\theta = -1, temos
\theta = \operatorname{arccos}(-1) = \pi\text{ rad} = 180^\circ.

Resposta

\theta = \pi radianos (ou 180^\circ).

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