Dados os vetores \vec{a}=(x, 2), \vec{b}=(3, x), \vec{c}=(2,3), encontre x, r e s, onde \vec{c}=r \vec{a}+s \vec{b} e r=2 s.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{a}=(x,2), \vec{b}=(3,x) e \vec{c}=(2,3) e pede x, r e s tais que
\vec{c}=r\,\vec{a}+s\,\vec{b} \quad\text{e}\quad r=2s.
O conteúdo é combinação linear de vetores em \mathbb{R}^2. Vamos usar a relação r=2s para reduzir variáveis e depois igualar componentes.

Passo 2

Substituindo r=2s na combinação linear, temos
\vec{c} =2s\,\vec{a}+s\,\vec{b} =s\bigl(2\vec{a}+\vec{b}\bigr).
Agora calculemos o vetor 2\vec{a}+\vec{b}:
2\vec{a}=(2x,4), \quad \vec{b}=(3,x),
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2\vec{a}+\vec{b}=(2x+3,\;4+x).

Passo 3

Portanto
\vec{c} =s\,(2x+3,\;x+4).
Igualando componente a componente com \vec{c}=(2,3), obtemos o sistema
2 = s\,(2x+3), \quad 3 = s\,(x+4).

Passo 4

Para resolver em x e s, podemos dividir a primeira equação pela segunda (note que s\neq0 pois \vec{c}\neq(0,0)):
\frac{2}{3} = \frac{2x+3}{x+4} \;\Longrightarrow\; 2(x+4)=3(2x+3) \;\Longrightarrow\; 2x+8=6x+9 \;\Longrightarrow\; -1=4x \;\Longrightarrow\; x=-\tfrac14.
Substituindo em 2 = s\,(2x+3):
2 = s\bigl(2(-\tfrac14)+3\bigr) = s\bigl(-\tfrac12+3\bigr) = s\cdot\tfrac52 \;\Longrightarrow\; s=\frac{2}{5/2}=\frac{4}{5}.

Passo 5

Como r=2s, segue
r=2\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{5}.

Resposta

x=-\tfrac14,\quad s=\tfrac{4}{5},\quad r=\tfrac{8}{5}.

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