Calcule os ângulos internos do triângulo cujos vértices são A=(1,1), B=(4,6) e C=(6,-3).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo A=(1,1), B=(4,6) e C=(6,-3) e pede os ângulos internos. Vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo aos seus ângulos: se os lados opostos aos ângulos A, B e C têm comprimentos a, b e c, então
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},
e análoga para \cos B e \cos C.

Passo 2

Primeiro calculamos os comprimentos dos lados ao quadrado:
\|\overrightarrow{AB}\|^2 = (4-1)^2 + (6-1)^2 = 3^2 + 5^2 = 34,
\|\overrightarrow{AC}\|^2 = (6-1)^2 + (-3-1)^2 = 5^2 + (-4)^2 = 41,
\|\overrightarrow{BC}\|^2 = (6-4)^2 + (-3-6)^2 = 2^2 + (-9)^2 = 85.
Logo, se chamarmos a = BC, b = AC e c = AB, temos
a = \sqrt{85},\quad b = \sqrt{41},\quad c = \sqrt{34}.

Passo 3

Aplicando a Lei dos Cossenos no ângulo em A (oposto ao lado a):
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2\,b\,c} = \frac{41 + 34 - 85}{2\sqrt{41}\,\sqrt{34}} = \frac{-10}{2\sqrt{1394}} = -\frac{5}{\sqrt{1394}}.
Numericamente,
A = \operatorname{arccos}\bigl(-5/\sqrt{1394}\bigr)\approx 97,7^\circ.

Passo 4

Para o ângulo em B (oposto ao lado b):
\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2\,c\,a} = \frac{34 + 85 - 41}{2\sqrt{34}\,\sqrt{85}} = \frac{78}{2\sqrt{2890}} \approx 0,7256,
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B = \operatorname{arccos}(0,7256)\approx 43,5^\circ.

Passo 5

O terceiro ângulo C basta obter pela soma dos ângulos internos ser 180^\circ:
C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 97,7^\circ - 43,5^\circ = 38,8^\circ.

Resposta

A\approx 97,7^\circ B\approx 43,5^\circ C\approx 38,8^\circ

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