Calcule a aproximação Taylor de segunda ordem das seguintes funções em torno de um ponto ( x_{0}, y_{0} ) qualquer do domínio de f.
f(x, y)=e^{a x+b y}.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem de
f(x,y)=e^{a x + b y}
em torno de um ponto qualquer (x_{0},y_{0}).
Para isso precisamos das derivadas parciais de primeira e segunda ordem avaliadas em (x_{0},y_{0}) e então usar a fórmula
T_{2}(x,y)=f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) +\tfrac12\bigl[f_{xx}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{2} + 2f_{xy}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0}) + f_{yy}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})^{2}\bigr].

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem de f:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{a x+b y}=a\,e^{a x+b y}, \quad f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{a x+b y}=b\,e^{a x+b y}.
Avaliando em (x_{0},y_{0}) obtemos
f_{x}(x_{0},y_{0})=a\,e^{a x_{0}+b y_{0}}, \quad f_{y}(x_{0},y_{0})=b\,e^{a x_{0}+b y_{0}}.

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(a\,e^{a x+b y})=a^{2}e^{a x+b y}, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(b\,e^{a x+b y})=b^{2}e^{a x+b y},
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(a\,e^{a x+b y})=ab\,e^{a x+b y}.
Em (x_{0},y_{0}) ficam
f_{xx}(x_{0},y_{0})=a^{2}e^{a x_{0}+b y_{0}}, \quad f_{xy}(x_{0},y_{0})=ab\,e^{a x_{0}+b y_{0}}, \quad f_{yy}(x_{0},y_{0})=b^{2}e^{a x_{0}+b y_{0}}.

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem:
T_{2}(x,y)=e^{a x_{0}+b y_{0}} + a\,e^{a x_{0}+b y_{0}}\,(x-x_{0}) + b\,e^{a x_{0}+b y_{0}}\,(y-y_{0})
\qquad{}+\tfrac12\Bigl[a^{2}e^{a x_{0}+b y_{0}}\,(x-x_{0})^{2} +2\,ab\,e^{a x_{0}+b y_{0}}\,(x-x_{0})(y-y_{0}) +b^{2}e^{a x_{0}+b y_{0}}\,(y-y_{0})^{2}\Bigr].
Fatorando e^{a x_{0}+b y_{0}}, temos a forma final.

Resposta

T_{2}(x,y)=e^{a x_{0}+b y_{0}}\Bigl[1 + a\,(x-x_{0}) + b\,(y-y_{0}) +\tfrac12\bigl(a^{2}(x-x_{0})^{2} + 2ab\,(x-x_{0})(y-y_{0}) + b^{2}(y-y_{0})^{2}\bigr)\Bigr].

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