Uma integral imprópria do tipo II é definida como
\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x
se este limite existir. Calcule as seguintes integrais impróprias considerando a>0.
\int_{0}^{\infty} e^{-a x} \cos (b x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria de tipo II
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\cos(b x)\,dx
com a>0. Vamos usar a ideia de escrever \cos(bx) como parte real de um exponencial complexo para aproveitar a convergência dada por e^{-a x}.

Passo 2

Note que
\cos(bx)=\Re\bigl(e^{i b x}\bigr).
Logo, definindo
I=\int_{0}^{\infty}e^{-a x}\cos(b x)\,dx,
temos
I=\Re\!\Bigl(\int_{0}^{\infty}e^{-a x}e^{i b x}\,dx\Bigr) =\Re\!\Bigl(\int_{0}^{\infty}e^{(-a+i b)x}\,dx\Bigr).

Passo 3

Considere o integral de limite finito
\int_{0}^{M}e^{(-a+i b)x}\,dx =\biggl[\frac{e^{(-a+i b)x}}{-a+i b}\biggr]_{0}^{M} =\frac{e^{(-a+i b)M}-1}{-a+i b}.

Passo 4

Fazendo M\to\infty e usando a>0\implies e^{-aM}\to0, obtemos
\int_{0}^{\infty}e^{(-a+i b)x}\,dx =\frac{0-1}{-a+i b} =\frac{1}{a-i b}.
Portanto
I=\Re\!\Bigl(\tfrac{1}{a-i b}\Bigr).

Passo 5

Para extrair a parte real, escrevemos
\frac{1}{a-i b} =\frac{a+i b}{a^2+b^2}
e assim
I=\Re\!\Bigl(\tfrac{a+i b}{a^2+b^2}\Bigr) =\frac{a}{a^2+b^2}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}e^{-a x}\cos(b x)\,dx =\frac{a}{a^2+b^2}.

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