Calcule a aproximação Taylor de segunda ordem das seguintes funções em torno de um ponto (
) qualquer do domínio de
.
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem de
em torno de um ponto genérico
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O conteúdo é a expansão de Taylor para funções de duas variáveis, que requer conhecer as derivadas primeiras e segundas de em
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O conteúdo é a expansão de Taylor para funções de duas variáveis, que requer conhecer as derivadas primeiras e segundas de
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Seja
Então, usando a regra da cadeia,
Passo 3
Agora as derivadas segundas. Derivando
em relação a
e a
:
De modo análogo,
Passo 4
A fórmula de Taylor de segunda ordem para duas variáveis é
Passo 5
Em
denote
e
. Então
Resposta
onde
e
.