1. Calcule a área entre a ciclóide parametrizada \mathbf{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t, 1-\cos t), 0 \leq t \leq 2 \pi, e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área entre uma arquinh(a) de ciclóide dada por
\mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t - \sin t,\;1 - \cos t\bigr),\quad 0\le t\le 2\pi,
e o eixo x. O conteúdo envolvido é a fórmula de área sob uma curva parametrizada:
A = \int_{t_1}^{t_2} y(t)\,\frac{dx}{dt}\,dt.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de x(t):
x(t) = t - \sin t \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} = 1 - \cos t.

Passo 3

Então a integral de área fica
A = \int_{0}^{2\pi} y(t)\,\frac{dx}{dt}\,dt = \int_{0}^{2\pi} \bigl(1 - \cos t\bigr)\bigl(1 - \cos t\bigr)\,dt = \int_{0}^{2\pi} \bigl(1 - \cos t\bigr)^{2}\,dt.

Passo 4

Expandindo o quadrado:
\bigl(1 - \cos t\bigr)^{2} = 1 - 2\cos t + \cos^{2}t,
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A = \int_{0}^{2\pi} \!1\,dt \;-\;2\int_{0}^{2\pi}\!\cos t\,dt\;+\;\int_{0}^{2\pi}\!\cos^{2}t\,dt.
Agora,
\int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = 0, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt = \pi
( \cos^{2}t tem valor médio 1/2 num período).

Passo 5

Somando os resultados:
A = 2\pi \;-\;2\cdot 0 \;+\;\pi = 3\pi.

Resposta

3\pi

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