1. Mostre que podemos calcular a área de uma região qualquer R do plano pela fórmula integrando \mathbf{F}=x \mathbf{j} ou então \mathbf{G}=\frac{1}{2}(-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}) ao longo da fronteira de R orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado uma região qualquer R do plano com fronteira \partial R suave e orientada positivamente (no sentido anti-horário), vale
\text{Área}(R) =\oint_{\partial R}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \quad\text{com}\quad \mathbf{F}=x\,\mathbf{j}Á
ou ainda
\text{Área}(R) =\oint_{\partial R}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r} \quad\text{com}\quad \mathbf{G}=\tfrac12\bigl(-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\bigr).Á
Para isso vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{\partial R}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.

Passo 2

Aplicando Green a \mathbf{F}=x\,\mathbf{j}. Aqui \mathbf{F}=(P,Q) com
P=0, \quad Q=x.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x)}{\partial x} =1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (0)}{\partial y} =0.
Pelo Teorema de Green:
\oint_{\partial R}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\oint_{\partial R}0\,dx + x\,dy =\iint_{R}(1-0)\,dA =\iint_{R}dA =\text{Área}(R).Á

Passo 3

Agora para \mathbf{G}=\tfrac12(-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}). Aqui
P=-\frac y2, \quad Q=\frac x2.
Calculamos as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x/2)}{\partial x} =\frac12, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (-y/2)}{\partial y} =-\frac12.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac12 - \bigl(-\tfrac12\bigr) =1.
De novo, Green dá
\oint_{\partial R}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{R}1\,dA =\text{Área}(R).Á

Resposta

Mostramos que, para fronteira \partial R orientada positivamente, valem as duas fórmulas:
\text{Área}(R) =\oint_{\partial R}x\,dy \quad\text{e}\quad \text{Área}(R) =\oint_{\partial R}\tfrac12\bigl(-y\,dx + x\,dy\bigr).ÁÁ

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