- Considere uma curva fechada
C no plano. O fluxo de um campo de vetores
\mathbf{F} através de
C é definido como a integral da projeção de
\mathbf{F} na direção normal a
C. Denotaremos este fluxo por
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d l, onde
\mathbf{n} é um campo unitário normal a
C.
(a) Denotemos por
\mathbf{r}(t)=(x(t), y(t)), t \in[a, b], uma parametrização de
C. Verifique que se
\mathbf{F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} e
\mathbf{n} é um vetor unitário normal apontando para fora de
C, então
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d l=\int_{a}^{b}\left[P(\mathbf{r}(t)) \frac{d y}{d t}(t)-Q(\mathbf{r}(t)) \frac{d x}{d t}(t)\right] d t
(b) Considere uma região
R do plano com fronteira uma curva fechada
C e suponhamos que
\mathbf{F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} esteja definido em
R. Verifique que, se
\mathbf{n} está apontando para fora de
C, então
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d l=\iint_{R}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y