1. Considere uma curva fechada C no plano. O fluxo de um campo de vetores \mathbf{F} através de C é definido como a integral da projeção de \mathbf{F} na direção normal a C. Denotaremos este fluxo por \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d l, onde \mathbf{n} é um campo unitário normal a C.
    (a) Denotemos por \mathbf{r}(t)=(x(t), y(t)), t \in[a, b], uma parametrização de C. Verifique que se \mathbf{F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} e \mathbf{n} é um vetor unitário normal apontando para fora de C, então
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d l=\int_{a}^{b}\left[P(\mathbf{r}(t)) \frac{d y}{d t}(t)-Q(\mathbf{r}(t)) \frac{d x}{d t}(t)\right] d t
(b) Considere uma região R do plano com fronteira uma curva fechada C e suponhamos que \mathbf{F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} esteja definido em R. Verifique que, se \mathbf{n} está apontando para fora de C, então
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d l=\iint_{R}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado trata do fluxo de um campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} através de uma curva fechada C que é fronteira de uma região R. No item (a) queremos achar uma fórmula paramétrica para
\int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dl
quando C é dada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], e \mathbf{n} é o vetor normal unitário externo. No item (b) queremos usar a forma de Green para mostrar que esse fluxo vale
\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy.

Passo 2

Para obter a expressão paramétrica, note que a tangente não normalizada é
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr),
e o elemento de comprimento é dl=\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt. Para uma parametrização no sentido anti-horário, o normal unitário externo sai da tangente girada 90\circ no sentido horário, isto é,
\mathbf{n}(t) =\frac{1}{\|\mathbf{r}'(t)\|}\,(y'(t),\,-x'(t)).

Passo 3

Então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{n}(t)\,dl =\bigl(P(\mathbf{r}(t)),\,Q(\mathbf{r}(t))\bigr)\cdot\frac{(y'(t),-x'(t))}{\|\mathbf{r}'(t)\|}\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt =P(\mathbf{r}(t))\,y'(t)-Q(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\,dt.
Integrando de t=a a t=b obtemos exatamente a fórmula do item (a):
\int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dl =\int_{a}^{b}\bigl[P(\mathbf{r}(t))\,y'(t)-Q(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\bigr]\,dt.

Passo 4

Para o item (b), reescrevemos o fluxo em coordenadas como
\int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dl =\int_{C}P\,dy- Q\,dx.
Agora note que isto é uma integral de linha da forma
\int_{C}M\,dx+N\,dy
com M=-Q e N=P.

Passo 5

Pelo Teorema de Green para curvas positivamente orientadas (anti-horário) que delimitam R, temos
\int_{C}M\,dx+N\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy.
Isto completa a verificação do item (b).

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dl=\int_{a}^{b}\bigl[P(\mathbf{r}(t))\,y'(t)-Q(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\bigr]\,dt.
(b) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dl=\iint_{R}\!\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy.

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