Calcule a área do conjunto de todos os (x, y) tais que 0 <= y <= sen(x), com 0 <= x <= 2 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a área de todos os pontos que satisfazem e . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente integração definida, para encontrar áreas delimitadas por curvas.

Passo 2

Para calcular a área entre duas curvas ou entre uma curva e o eixo , usamos a integral definida. A fórmula básica para a área é:
Neste caso, , e .

Passo 3

Vamos configurar a integral com os limites dados:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.

Passo 5

Aplicamos os limites de integração à antiderivada:

Passo 6

Calculamos os valores de e . Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Passo 7

Percebi que o resultado deu zero, o que não faz sentido para uma área. Isso acontece porque a função está positiva e negativa no intervalo de a . Para encontrar a área total, precisamos considerar apenas a parte positiva da função. Então, vamos dividir a integral em duas partes onde é positiva e negativa.

Passo 8

Sabemos que é positiva entre e e negativa entre e . Então, a área total será:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 10

Somamos as duas áreas:

Resposta

A área do conjunto de todos os que satisfazem e é igual a 4 unidades de área.

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