Calcule a área do plano limitada pelas retas x=1, x=3, pelo eixo x, e pelo gráfico de f(x) = raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área limitada pelas retas , , pelo eixo (que é a reta ) e pelo gráfico da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa área que queremos calcular. Imagine o gráfico da função , que é uma curva crescente. As retas e vão cortar essa curva em dois pontos, e o eixo forma a base dessa área. Então, a região que estamos procurando está entre e , debaixo da curva e acima do eixo .

Passo 3

Para encontrar a área dessa região, vamos usar a integral definida. A ideia é somar infinitos retângulos bem fininhos que ficam entre e , com altura dada pela função . A fórmula geral para a área é:
Onde e são os limites de integração, que nesse caso são 1 e 3, respectivamente.

Passo 4

Vamos substituir na fórmula os valores que temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que é o mesmo que .

Passo 5

Para integrar , usamos a regra da potência para integrais:
Nesse caso, , então:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Calculando cada termo:

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão:
Podemos deixar essa expressão assim ou calcular um valor numérico aproximado.

Resposta

A área limitada pelas retas , , pelo eixo e pelo gráfico de é unidades de área.

Exercícios relacionados