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Calcule a área delimitada pela elipse E: x^2a^2+y^2b^2=1, ou seja, integral duplaE 1 d A. O que ocorre se a=b?

Passo 1

Estamos lidando com a elipse E:x^2a^2+y^2b^2=1 e queremos calcular a área
integral duplaE1,dA. Vamos usar mudança de variáveis para transformar o domínio elíptico num círculo unitário.

Passo 2

Introduzimos a transformação
x = a,u,
y = b,v,
de modo que o ponto (u,v) varia no disco unitário u^2+v^2<=1. O jacobiano dessa mudança é
J = |partial(x,y)partial(u,v)| = a,b
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integral duplaE1,dA = integral duplau^2+v^2<=1 ab,du,dv = ab cdot l(área do círculo unitárior) = abcdotpi áíá

Passo 3

Se a=b, a elipse se torna um círculo de raio a. Substituindo na expressão pi a b, obtemos a área
pi a^2, conforme esperado para um círculo de raio a.

Resposta

Área = pi,a,bÁ Se a=b, então a área vale pi,a^2.

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