É convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=2^infty raiznlnl(tfracn+1nr) é convergente ou divergente. Esse é um problema de testes de convergência de séries infinitas, e vamos usar o teste de comparação (limite) combinado com o comportamento assintótico de logaritmos.

Passo 2

Para termos uma ideia do comportamento do termo geral an=raiznlnl(tfracn+1nr) quando ntoinfty, usamos a expansão ln(1+x)sim x para x pequeno. Como lnl(tfracn+1nr)=ln(1+1/n), temos
lnl(1+tfrac1nr)simtfrac1n
Então
an=raiznlnl(1+tfrac1nr)simraizncdottfrac1n=tfrac1raizn

Passo 3

Formalizando com o teste da comparação por limite, definimos bn=1/raizn (uma p-série com p=1/2). Calculamos o limite da razão entre an e bn:

Passo 4

limntoinftyanbn=limntoinftynlnl(1+tfrac1nr)=1
Como sum bn=sum1/raizn diverge (p-série com p=1/2<=1) e o limite da razão é finito e positivo, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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