É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
O exercício pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Esse é um problema de testes de convergência de séries infinitas, e vamos usar o teste de comparação (limite) combinado com o comportamento assintótico de logaritmos.
Passo 2
Para termos uma ideia do comportamento do termo geral
quando
, usamos a expansão
para
pequeno. Como
, temos
Então
Passo 3
Formalizando com o teste da comparação por limite, definimos
(uma p-série com
). Calculamos o limite da razão entre
e
:
Passo 4
Como
diverge (p-série com
) e o limite da razão é finito e positivo, concluímos que
também diverge.
Resposta
A série é divergente.