Determine os pontos singulares de cada EDO e classifique-os como regular ou irregular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos singulares da equação diferencial dada e classificá-los como regulares ou irregulares. A matéria que vamos usar aqui é sobre pontos singulares em equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para isso, vamos precisar identificar onde o coeficiente da segunda derivada se anula e depois analisar o comportamento da equação nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar a análise:
Aqui, o coeficiente de $ y’’ $ é $ x^{2} - 9 $. Para encontrar os pontos singulares, precisamos descobrir onde esse coeficiente é igual a zero, pois nesses pontos a equação pode não ser definida de forma regular.
Passo 3
Vamos resolver $ x^{2} - 9 = 0 $:
Então, os pontos onde $ x = 3 $ e $ x = -3 $ são candidatos a serem pontos singulares, já que o coeficiente de $ y’’ $ se anula nesses valores de $ x $.
Passo 4
Agora, precisamos classificar esses pontos singulares como regulares ou irregulares. Para isso, vamos colocar a EDO na forma padrão dividindo toda a equação por $ x^{2} - 9 $:
Um ponto singular é regular se as funções $ \frac{x + 3}{x^{2} - 9} $ e $ \frac{2}{x^{2} - 9} $ tiverem singularidades de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, no ponto em questão.
Passo 5
Vamos analisar em $ x = 3 $:
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$ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) $, então perto de $ x = 3 $, podemos aproximar $ x + 3 \approx 6 $.
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$ \frac{x + 3}{x^{2} - 9} \approx \frac{6}{(x - 3)(6)} = \frac{1}{x - 3} $
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$ \frac{2}{x^{2} - 9} \approx \frac{2}{(x - 3)(6)} = \frac{1}{3(x - 3)} $
Como as singularidades são de ordem 1 e 1, respectivamente, o ponto $ x = 3 $ é um ponto singular regular.
Passo 6
Agora, vamos analisar em $ x = -3 $:
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Novamente, $ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) $, então perto de $ x = -3 $, podemos aproximar $ x + 3 \approx 0 $.
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$ \frac{x + 3}{x^{2} - 9} \approx \frac{0}{(x + 3)(-6)} = \frac{0}{(x + 3)} $, que é uma singularidade de ordem 0.
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$ \frac{2}{x^{2} - 9} \approx \frac{2}{(x + 3)(-6)} = \frac{-1}{3(x + 3)} $
Aqui, a primeira função não apresenta singularidade (ordem 0) e a segunda apresenta singularidade de ordem 1, o que ainda está dentro dos limites para ser um ponto singular regular.
Resposta
Os pontos singulares da EDO são $ x = 3 $ e $ x = -3 $, e ambos são pontos singulares regulares.