Determine os pontos singulares de cada EDO e classifique-os como regular ou irregular:
(x^2-9) y^prime prime+(x+3) y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos singulares da equação diferencial dada e classificá-los como regulares ou irregulares. A matéria que vamos usar aqui é sobre pontos singulares em equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para isso, vamos precisar identificar onde o coeficiente da segunda derivada se anula e depois analisar o comportamento da equação nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar a análise:
(x^2 - 9) y'' + (x + 3) y' + 2y = 0
Aqui, o coeficiente de $ y’’ $ é $ x^{2} - 9 $. Para encontrar os pontos singulares, precisamos descobrir onde esse coeficiente é igual a zero, pois nesses pontos a equação pode não ser definida de forma regular.

Passo 3

Vamos resolver $ x^{2} - 9 = 0 $:
x^2 - 9 = 0
Então, os pontos onde $ x = 3 $ e $ x = -3 $ são candidatos a serem pontos singulares, já que o coeficiente de $ y’’ $ se anula nesses valores de $ x $.

Passo 4

Agora, precisamos classificar esses pontos singulares como regulares ou irregulares. Para isso, vamos colocar a EDO na forma padrão dividindo toda a equação por $ x^{2} - 9 $:
x^2 - 9
Um ponto singular é regular se as funções $ \frac{x + 3}{x^{2} - 9} $ e $ \frac{2}{x^{2} - 9} $ tiverem singularidades de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, no ponto em questão.

Passo 5

Vamos analisar em $ x = 3 $:
  • $ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) $, então perto de $ x = 3 $, podemos aproximar $ x + 3 \approx 6 $.
  • $ \frac{x + 3}{x^{2} - 9} \approx \frac{6}{(x - 3)(6)} = \frac{1}{x - 3} $
  • $ \frac{2}{x^{2} - 9} \approx \frac{2}{(x - 3)(6)} = \frac{1}{3(x - 3)} $
Como as singularidades são de ordem 1 e 1, respectivamente, o ponto $ x = 3 $ é um ponto singular regular.

Passo 6

Agora, vamos analisar em $ x = -3 $:
  • Novamente, $ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) $, então perto de $ x = -3 $, podemos aproximar $ x + 3 \approx 0 $.
  • $ \frac{x + 3}{x^{2} - 9} \approx \frac{0}{(x + 3)(-6)} = \frac{0}{(x + 3)} $, que é uma singularidade de ordem 0.
  • $ \frac{2}{x^{2} - 9} \approx \frac{2}{(x + 3)(-6)} = \frac{-1}{3(x + 3)} $
Aqui, a primeira função não apresenta singularidade (ordem 0) e a segunda apresenta singularidade de ordem 1, o que ainda está dentro dos limites para ser um ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares da EDO são $ x = 3 $ e $ x = -3 $, e ambos são pontos singulares regulares.

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