Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 3 cm sua altura e 10 cm a medida da aresta da base.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral e a área total de uma pirâmide regular de base hexagonal, com altura h=3 cm e aresta da base s=10 cm. Vamos usar:
– apótema do hexágono (para a base),
– apótema lateral (geratriz, via Pitágoras),
– fórmula da área lateral \tfrac{P\cdot l}{2},
– fórmula da área da base \tfrac{P\cdot a_b}{2}.

Passo 2

Calcular o apótema da base a_b. Num hexágono regular de aresta s, vale
a_b = \frac{s\sqrt{3}}{2}
Logo,
a_b = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ cm}.

Passo 3

Calcular o apótema lateral (geratriz) l pela projeção do vértice no centro da base. Do triângulo retângulo com catetos h=3 cm e a_b=5\sqrt{3} cm, temos
l = \sqrt{h^2 + a_b^2}
l = \sqrt{3^2 + \bigl(5\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{9 + 75} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\text{ cm}.

Passo 4

Calcular a área lateral A_L. O perímetro da base é
P = 6\cdot s = 6\cdot 10 = 60\text{ cm}.
Então
A_L = \frac{P\cdot l}{2} = \frac{60\cdot 2\sqrt{21}}{2} = 60\sqrt{21}\text{ cm}^2.

Passo 5

Calcular a área da base A_B. Usando o apótema a_b,
A_B = \frac{P\cdot a_b}{2} = \frac{60\cdot 5\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Passo 6

Calcular a área total A_T somando lateral e base:
A_T = A_L + A_B = 60\sqrt{21} + 150\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Resposta

Área lateral: 60\sqrt{21}\text{ cm}^2
Área total: 60\sqrt{21} + 150\sqrt{3}\text{ cm}^2

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