Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é
, e que o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm .
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular de base triangular, cuja área total das faces (base + 3 faces laterais) é
,
e diz que o raio do círculo inscrito na base (triângulo equilátero) é
,cm. Precisamos usar:
– Fórmula do raio da inscrita num triângulo equilátero de lado :
– Fórmula do raio da inscrita num triângulo equilátero de lado
– Cálculo da área da base equilátera:
– Relação entre área total, área da base e área lateral,
– Área lateral de pirâmide regular:
– Área lateral de pirâmide regular:
em que
é a altura lateral (slant height) de cada face.
Finalmente, haremos o triângulo retângulo que liga ,
e
.
Finalmente, haremos o triângulo retângulo que liga
Passo 2
Do raio inscrito na base temos
Passo 3
A área da base é
Passo 4
A área total
,cm
é soma da base com a lateral. Logo a área lateral é
Por outro lado
Então
Passo 5
Na seção que contém a altura
, o slant height
e o raio inscrito
, formamos o triângulo retângulo
Note que
, isto é, não há solução real: com esses dados NÃO EXISTE pirâmide triangular regular real.
Resposta
Não há altura real – os dados levam a
, logo não existe solução geométrica.