Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é 36 \mathrm{~cm}^{2}, e que o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm .

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular de base triangular, cuja área total das faces (base + 3 faces laterais) é 36, cm^2 e diz que o raio do círculo inscrito na base (triângulo equilátero) é 2,cm. Precisamos usar:
– Fórmula do raio da inscrita num triângulo equilátero de lado a:
r = \tfrac{a\sqrt3}{6},
– Cálculo da área da base equilátera:
A_{\text{base}} = \tfrac{a^2\sqrt3}{4},
– Relação entre área total, área da base e área lateral,
– Área lateral de pirâmide regular:
A_{\text{lat}} = 3\cdot\bigl(\tfrac{a\cdot l}{2}\bigr)
em que l é a altura lateral (slant height) de cada face.
Finalmente, haremos o triângulo retângulo que liga h, r e l.

Passo 2

Do raio inscrito na base temos
2 = \frac{a\sqrt3}{6} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3\quad(\text{cm}).

Passo 3

A área da base é
A_{\text{base}} = \frac{a^2\sqrt3}{4} = \frac{(4\sqrt3)^2\,\sqrt3}{4} = \frac{48\,\sqrt3}{4} =12\sqrt3\quad(\text{cm}^2).

Passo 4

A área total 36,cm ^2 é soma da base com a lateral. Logo a área lateral é
A_{\text{lat}} =36 -12\sqrt3.
Por outro lado
A_{\text{lat}} = 3\cdot\frac{a\,l}{2} = \frac{3\,(4\sqrt3)\,l}{2} =6\sqrt3\,l.
Então
6\sqrt3\,l =36 -12\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad l = \frac{36-12\sqrt3}{6\sqrt3} =2(\sqrt3-1)\quad(\text{cm}).

Passo 5

Na seção que contém a altura h, o slant height l e o raio inscrito r=2, formamos o triângulo retângulo
l^2 = h^2 + r^2 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{\,l^2 - r^2\,} = \sqrt{\bigl[2(\sqrt3-1)\bigr]^2 - 2^2} = \sqrt{4(4-2\sqrt3)-4} = \sqrt{12 -8\sqrt3}.
Note que 12-8\sqrt3<0, isto é, não há solução real: com esses dados NÃO EXISTE pirâmide triangular regular real.

Resposta

Não há altura real – os dados levam a h^2<0, logo não existe solução geométrica.

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