Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo 8 cm e a área lateral igual a 3 / 5 da área total. Calcule a altura e a área lateral dessa pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular de base quadrada com lado da base igual a 8\\ \text{cm} e diz que a área lateral corresponde a \tfrac{3}{5} da área total. Queremos encontrar a altura h da pirâmide e sua área lateral A_{\text{lat}}. Para isso usaremos as fórmulas de área da base, área lateral em função da aresta lateral (ou apótema) s e o teorema de Pitágoras no triângulo que envolve h, s e metade da base.

Passo 2

Calculamos a área da base e expressamos a área lateral em função de s.
A área da base quadrada é
A_{\text{base}} = 8^2 = 64\\ \text{cm}^2.
Como o perímetro da base é 4\cdot8, a área lateral vale
A_{\text{lat}} = \frac{\text{perímetro}\cdot s}{2} = \frac{4\cdot8\cdot s}{2} = 16\,s.í

Passo 3

A área total é a soma da base com a lateral, isto é
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lat}} = 64 + 16\,s.
Pela condição A_{\text{lat}} = \tfrac{3}{5}\,A_{\text{total}}, temos
16\,s = \frac{3}{5}\,\bigl(64 + 16\,s\bigr).

Passo 4

Resolvendo para s:
80\,s = 3\,(64 + 16\,s) \quad\Longrightarrow\quad 80\,s = 192 + 48\,s \quad\Longrightarrow\quad 32\,s = 192 \quad\Longrightarrow\quad s = 6\\ \text{cm}.

Passo 5

No triângulo formado pela altura h, pela aresta lateral s e pela meia aresta da base ( 4\\ \text{cm}), aplicamos Pitágoras:
s^2 = h^2 + 4^2 \quad\Longrightarrow\quad 36 = h^2 + 16 \quad\Longrightarrow\quad h^2 = 20 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\\ \text{cm}.

Passo 6

Finalmente, a área lateral é
A_{\text{lat}} = 16\,s = 16 \times 6 = 96\\ \text{cm}^2.

Resposta

Altura h = 2\sqrt{5}\\ \text{cm}
Área lateral A_{\text{lat}} = 96\\ \text{cm}^2

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