Calcule a área lateral, área total e o volume dos seguintes prismas:
Prisma regular hexagonal cuja aresta da base mede 1 c m e aresta lateral mede 2,5 \mathrm{~cm.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a área lateral, a área total e o volume de um prisma regular de base hexagonal, dado que a aresta da base mede \,1\\ \mathrm{cm}\, e a aresta lateral (a altura do prisma) mede \,2{,}5\\ \mathrm{cm}\,.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
a = 1\\ \mathrm{cm}\quad\text{(aresta da base, ou seja, lado do hexágono)}á
h = 2{,}5\\ \mathrm{cm}\quad\text{(aresta lateral = altura do prisma)}
As perguntas são, portanto:
  • Calcular a área lateral do prisma.
  • Calcular a área total do prisma.
  • Calcular o volume do prisma.

Passo 2

Entender a base hexagonal regular e como obter sua área (a partir disso saem volume e parte da área total).
Uma base hexagonal regular pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado \,a. Então a área do hexágono é 6 vezes a área de um desses triângulos.
Área de um triângulo equilátero de lado \,a:
  • A altura do triângulo equilátero é \,a\frac{\sqrt{3}}{2} (isso vem de um triângulo retângulo 30°–60°–90°).
  • A área do triângulo é \,\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\dfrac{a\cdot\left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.
Portanto, área do hexágono regular (base do prisma):
A_{b}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.
Aqui \,A_{b} é a área da base e \,a é o lado do hexágono.

Passo 3

Calcular a área da base com a=1\\ \mathrm{cm}.
Aplicando a fórmula:
A_{b}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot(1)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{cm}^{2}.
Valor decimal (aproximando \sqrt{3}\approx 1{,}7320508):
A_{b}\approx \frac{3\cdot 1{,}7320508}{2}= \frac{5{,}1961524}{2}=2{,}5980762\\ \mathrm{cm}^{2}.
Para facilitar, vou arredondar resultados finais aos milhares ( 3 casas decimais) quando der aproximação.

Passo 4

Calcular a área lateral. Fórmula geral da área lateral de um prisma:
A_{\text{lat}}=P\cdot h,
onde P é o perímetro da base e h é a altura do prisma.
Perímetro da base hexagonal regular com lado a:
P=6a.
Com a=1\\ \mathrm{cm} e h=2{,}5\\ \mathrm{cm}:
P=6\cdot 1=6\\ \mathrm{cm},
A_{\text{lat}}=P\cdot h=6\cdot 2{,}5=15\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 5

Calcular a área total. Fórmula:
A_{\text{tot}}=A_{\text{lat}}+2A_{b}.
Substituindo os valores exatos:
A_{\text{tot}}=15 + 2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=15+3\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2}.
Valor decimal aproximado (usar \sqrt{3}\approx 1{,}7320508):
A_{\text{tot}}\approx 15 + 3\cdot 1{,}7320508 = 15 + 5{,}1961524 = 20{,}1961524\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 6

Calcular o volume. Fórmula do volume de um prisma:
V = A_{b}\cdot h,
ou seja, área da base vezes altura.
Usando A_{b}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} e h=2{,}5=\dfrac{5}{2}:
V = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{5}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{cm}^{3}.
Valor decimal aproximado:
V \approx \frac{15\cdot 1{,}7320508}{4} = \frac{25{,}980762}{4}=6{,}4951905\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 7

Resumo dos resultados exatos e aproximados (arredondados a 3 casas decimais quando em forma decimal):
  • Área lateral exata: \,15\\ \mathrm{cm}^{2} (já é exata).
  • Área total exata: \,15+3\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Volume exato: \,\dfrac{15\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

Área lateral: 15\\ \mathrm{cm}^{2} \
Área total: 15+3\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2}\approx 20{,}196\\ \mathrm{cm}^{2} \
Volume: \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{cm}^{3}\approx 6{,}495\\ \mathrm{cm}^{3}

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