Determine o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O poliedro é convexo.
  • Existe a informação de que há16ângulos triedros.
  • Devemos encontrar o número de faces (isso é o que o enunciado pede).
]
Observação importante sobre a expressão do enunciado: um “ângulo triedro” é um ângulo formado por três planos que se encontram num vértice, ou seja, é um vértice onde se encontram exatamente três faces. Portanto, a informação “possui 16 ângulos triedros” corresponde a dizer que há 16 vértices em que se juntam exatamente três arestas (vértices de valência 3). Não estamos ainda resolvendo, apenas deixando claro o que foi dado e o que se busca.

Passo 2

Vamos introduzir notação e uma fórmula fundamental que vamos usar (sem resolver ainda): \n
Denotemos por \,V o número total de vértices do poliedro, por \,E o número de arestas e por \,F o número de faces. Para todo poliedro convexo vale a Fórmula de Euler:
V - E + F = 2.
Explicação didática do que cada símbolo significa:
\begin{aligned} V &\text{ é a quantidade de pontos onde se encontram faces (vértices),}\\\ E &\text{ é a quantidade de segmentos que ligam dois vértices (arestas),}\\\ F &\text{ é a quantidade de polígonos planos que formam a superfície (faces).} \end{aligned}éééééíí
A Fórmula de Euler é um resultado clássico: para poliedros convexos topologicamente equivalentes a uma esfera, a relação entre vértices, arestas e faces é sempre essa.

Passo 3

Necesitamos relacionar o número de vértices com o número de arestas usando a informação sobre ângulos triedros.\n
Se um vértice é triedro significa que nele se encontram exatamente três arestas (ou seja, a valência do vértice é 3). Uma contagem padrão em grafos/poliedros é: somando as valências de todos os vértices obtemos duas vezes o número de arestas, porque cada aresta contribui com 1 para a valência de cada um dos dois extremos. Em fórmula geral:
\sum_{\text{vértices}} \text{valência} = 2E.éê
Se todos os V vértices tiverem valência 3, então \sum \text{valência} = 3Vê, e assim
3V = 2E.
Aqui estou lembrando e explicando passo a passo por que a soma das valências é 2E: cada aresta toca exatamente dois vértices, então ao contarmos “incidências vértice–aresta” contamos cada aresta duas vezes.

Passo 4

Aplicando a informação numérica do enunciado: o poliedro “possui 16 ângulos triedros”, ou seja, há 16 vértices com valência 3. Pelo entendimento usado, assumimos que todos os vértices do poliedro são desses ângulos triedros (o enunciado dá essa contagem). Portanto:
V = 16.

Passo 5

Usando a relação entre valências e arestas obtida no Passo 3, com V=16:
3V = 2E \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 16 = 2E.
Calcule:
48 = 2E \quad\Rightarrow\quad E = 24.
Expliquei: multiplicamos 3 por 16 e dividimos por 2 para achar E.

Passo 6

Agora aplicamos a Fórmula de Euler ( V - E + F = 2) com V=16 e E=24:
16 - 24 + F = 2.
Resolvendo para F:
F = 2 + 24 - 16 = 10.
Mostrei passo a passo: passei -24 para o outro lado (ou somei 24) e somei 2.

Passo 7

Cheque de coerência rápido (ilustrativo): para um cubo, por exemplo, temos V=8 vértices triedros, E=12 e F=6; aqui com V=16 obtivemos E=24 e F=10, que respeita as fórmulas usadas. Isso nos dá confiança na resposta.

Resposta

\,10

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