Determine o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- •O poliedro é convexo.
- •Existe a informação de que há16ângulos triedros.
- •Devemos encontrar o número de faces (isso é o que o enunciado pede).
Observação importante sobre a expressão do enunciado: um “ângulo triedro” é um ângulo formado por três planos que se encontram num vértice, ou seja, é um vértice onde se encontram exatamente três faces. Portanto, a informação “possui 16 ângulos triedros” corresponde a dizer que há
vértices em que se juntam exatamente três arestas (vértices de valência
). Não estamos ainda resolvendo, apenas deixando claro o que foi dado e o que se busca.
Passo 2
Vamos introduzir notação e uma fórmula fundamental que vamos usar (sem resolver ainda): \n
Denotemos por o número total de vértices do poliedro, por
o número de arestas e por
o número de faces. Para todo poliedro convexo vale a Fórmula de Euler:
Denotemos por
Explicação didática do que cada símbolo significa:
A Fórmula de Euler é um resultado clássico: para poliedros convexos topologicamente equivalentes a uma esfera, a relação entre vértices, arestas e faces é sempre essa.
Passo 3
Necesitamos relacionar o número de vértices com o número de arestas usando a informação sobre ângulos triedros.\n
Se um vértice é triedro significa que nele se encontram exatamente três arestas (ou seja, a valência do vértice é ). Uma contagem padrão em grafos/poliedros é: somando as valências de todos os vértices obtemos duas vezes o número de arestas, porque cada aresta contribui com
para a valência de cada um dos dois extremos. Em fórmula geral:
Se um vértice é triedro significa que nele se encontram exatamente três arestas (ou seja, a valência do vértice é
Se todos os
vértices tiverem valência
, então
, e assim
Aqui estou lembrando e explicando passo a passo por que a soma das valências é
: cada aresta toca exatamente dois vértices, então ao contarmos “incidências vértice–aresta” contamos cada aresta duas vezes.
Passo 4
Aplicando a informação numérica do enunciado: o poliedro “possui
ângulos triedros”, ou seja, há
vértices com valência
. Pelo entendimento usado, assumimos que todos os vértices do poliedro são desses ângulos triedros (o enunciado dá essa contagem). Portanto:
Passo 5
Usando a relação entre valências e arestas obtida no Passo 3, com
:
Calcule:
Expliquei: multiplicamos
por
e dividimos por
para achar
.
Passo 6
Agora aplicamos a Fórmula de Euler (
) com
e
:
Resolvendo para
:
Mostrei passo a passo: passei
para o outro lado (ou somei
) e somei
.
Passo 7
Cheque de coerência rápido (ilustrativo): para um cubo, por exemplo, temos
vértices triedros,
e
; aqui com
obtivemos
e
, que respeita as fórmulas usadas. Isso nos dá confiança na resposta.