Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

Passo 1

O problema pede que eu determine quantas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais tem um poliedro convexo, sabendo que:
  • Todas as faces são triângulos, quadriláteros ou pentágonos.
  • O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades.
  • O poliedro tem 7 vértices.
Informações relevantes extraídas do enunciado (vou nomear as quantidades para trabalhar):
  • Seja t o número de faces triangulares.
  • Seja q o número de faces quadrangulares.
  • Seja p o número de faces pentagonais.
  • Condição dada: t = p + 2.
  • Número de vértices: V = 7.
  • Quero encontrar t, q e p.

Passo 2

Vou usar uma relação básica entre vértices, arestas e faces para poliedros convexos: a fórmula de Euler. Vou explicar o que é e como aplico.
A fórmula de Euler diz que, para qualquer poliedro convexo,
V - E + F = 2,
onde:
  • V é o número de vértices,
  • E é o número de arestas,
  • F é o número total de faces.
Aqui F é a soma das três categorias de faces:
F = t + q + p.
Como sei V = 7, posso isolar E:
E = V + F - 2 = 7 + F - 2 = F + 5.
Ou seja, a número de arestas é E = F + 5. Guardo essa relação para usar em seguida.

Passo 3

Agora uso a contagem das arestas a partir das faces. Cada face com k lados contribui com k “incidências” de aresta, mas cada aresta é contada em exatamente duas faces. Portanto, a soma dos números de lados de todas as faces é 2E. Explicitamente:
3t + 4q + 5p = 2E.
Aqui:
  • 3t vem das t faces triangulares (cada uma com 3 lados),
  • 4q das q quadrangulares,
  • 5p das p pentagonais.
Substituo E = F + 5 nessa igualdade:
3t + 4q + 5p = 2(F + 5).

Passo 4

Explico passo a passo a substituição e simplificação algébrica, usando também F = t+q+p e t = p+2.
Primeiro exponho o lado direito com F:
2(F + 5) = 2(t+q+p + 5) = 2t + 2q + 2p + 10.
A igualdade fica:
3t + 4q + 5p = 2t + 2q + 2p + 10.
Subtraio 2t + 2q + 2p de ambos os lados para agrupar termos:
(3t-2t) + (4q-2q) + (5p-2p) = 10,
ou seja
t + 2q + 3p = 10.
Agora substituo t = p + 2 nessa última equação:
(p+2) + 2q + 3p = 10.
Somando os termos em p:
4p + 2q + 2 = 10.
Subtraio 2:
4p + 2q = 8.
Divido toda a equação por 2 para simplificar:
2p + q = 4.
Essa é uma relação linear simples entre p e q que precisa ser satisfeita por números inteiros não-negativos.

Passo 5

Agora resolvo a equação inteira
2p + q = 4
para p,q inteiros não-negativos. Isolo q:
q = 4 - 2p.
Como q \ge 0, tenho 4 - 2p \ge 0 ou p \le 2. Assim p pode ser 0,1,2. Vou listar as soluções inteiras e calcular t = p+2 em cada caso:
  • Se p = 0, então q = 4 - 2\cdot 0 = 4 e t = 0 + 2 = 2.
  • Se p = 1, então q = 4 - 2\cdot 1 = 2 e t = 1 + 2 = 3.
  • Se p = 2, então q = 4 - 2\cdot 2 = 0 e t = 2 + 2 = 4.
Portanto há três soluções inteiras possíveis para (t,q,p):
(2,4,0),\quad (3,2,1),\quad (4,0,2).

Passo 6

Faço uma verificação rápida (consistência com Euler e contagem de arestas) para qualquer uma das soluções: em todos os casos
F = t+q+p = 6,
portanto E = F + 5 = 11. A soma dos lados das faces é
3t + 4q + 5p = 22 = 2E,
como exigido. Além disso a soma dos graus dos vértices é 2E = 22; com 7 vértices isso implica que a soma mínima 7\cdot 3 = 21 (cada vértice tem grau pelo menos 3) é ultrapassada por 1, o que é compatível com uma distribuição de seis vértices de grau 3 e um vértice de grau 4 — isto é plausível para um poliedro convexo. Assim todas as três combinações são compatíveis com as relações combinatórias básicas do poliedro convexo dado.
Concluo que há três possibilidades inteiras compatíveis com as condições do enunciado.

Resposta

t=2,\\ q=4,\\ p=0
t=3,\\ q=2,\\ p=1
t=4,\\ q=0,\\ p=2

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