CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
y=3 x^{2}, reta passando por (0,5) e (1,3), \quad 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área limitada pelas curvas y=3x^{2} e pela reta que passa por (0,5) e (1,3), no intervalo 0\le x\le1.
Informações dadas:
  • Uma parábola y=3x^{2}.
  • Uma reta que passa por (0,5) e (1,3).
  • Intervalo de interesse: 0\le x\le1.
  • A tarefa é encontrar a área da região limitada por essas duas curvas dentro desse intervalo.

Passo 2

Vamos obter a equação da reta que passa por (0,5) e (1,3).
A inclinação (coeficiente angular) m entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando aos pontos dados:
m=\frac{3-5}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2.
A forma da reta é y=mx+b. Como a reta passa por (0,5), o coeficiente linear b é 5. Portanto a reta é
y=-2x+5.

Passo 3

Identificar onde as curvas se encontram (intersecções) dentro do intervalo. Igualamos as expressões:
3x^{2} = -2x+5.
Reorganizando:
3x^{2}+2x-5=0.
Isto é uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 com a=3, b=2, c=-5. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot3\cdot(-5)=4+60=64.
As raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm8}{6}.
Portanto as raízes são
x_{1}=\frac{-2+8}{6}=\frac{6}{6}=1,\qquad x_{2}=\frac{-2-8}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}.
Dentro do intervalo 0\le x\le1 a interseção relevante é x=1. A outra raiz está fora do intervalo.

Passo 4

Determinar qual curva está acima da outra em 0\le x<1 (isso define integrando como f_{\text{top}}-f_{\text{bottom}}).
Avaliações rápidas:
  • Em x=0: y_{\text{parábola}}=3\cdot0^{2}=0á, y_{\text{reta}}=-2\cdot0+5=5. Logo a reta está acima da parábola em x=0.
  • Em x=1: ambas valem 3 (interseção).
Como as curvas se cruzam em x=1 e a parábola cresce a partir de 0 enquanto a reta decresce linearmente, conclui-se que, para todo x em [0,1), a reta y=-2x+5 está acima da parábola y=3x^{2}. Portanto o integrando será (\text{reta}) - (\text{parábola})á.

Passo 5

Fórmula para a área entre duas curvas no intervalo [a,b]:
Se f_{\text{top}}(x) é a função superior (mais alta) e f_{\text{bot}}(x) é a função inferior (mais baixa) em [a,b], a área A da região limitada entre elas é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f_{\text{top}}(x)-f_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui:
  • a e b são os limites de integração (no problema, a=0 e b=1);
  • f_{\text{top}}(x) é a reta -2x+5;
  • f_{\text{bot}}(x) é a parábola 3x^{2}.

Passo 6

Montar o integral para a área:
A=\int_{0}^{1}\bigl((-2x+5)-3x^{2}\bigr)\,dx.
Simplificando o integrando:
(-2x+5)-3x^{2} = -3x^{2}-2x+5.
Assim
A=\int_{0}^{1}\bigl(-3x^{2}-2x+5\bigr)\,dx.

Passo 7

Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo. Relembrando: para potências x^{n} com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
  • \displaystyle \int -3x^{2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{3}}{3} = -x^{3}.
  • \displaystyle \int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.
  • \displaystyle \int 5\,dx = 5x.
Somando as primitivas obtemos uma antiderivada
F(x)=-x^{3}-x^{2}+5x.

Passo 8

Avaliar F(x) nos limites e subtrair F(1)-F(0).
Calcular F(1):
F(1) = -1^{3}-1^{2}+5\cdot1 = -1-1+5 = 3.
Calcular F(0):
F(0) = -0^{3}-0^{2}+5\cdot0 = 0.
O valor da integral é F(1)-F(0), cujos termos foram calculados acima.

Resposta

3

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