CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
, reta passando por
e
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área limitada pelas curvas
e pela reta que passa por
e
, no intervalo
.
Informações dadas:
- Uma parábola
. - Uma reta que passa por
e . - Intervalo de interesse:
. - A tarefa é encontrar a área da região limitada por essas duas curvas dentro desse intervalo.
Passo 2
Vamos obter a equação da reta que passa por
e
.
A inclinação (coeficiente angular)
entre dois pontos
e
é dada por
Aplicando aos pontos dados:
A forma da reta é
. Como a reta passa por
, o coeficiente linear
é
. Portanto a reta é
Passo 3
Identificar onde as curvas se encontram (intersecções) dentro do intervalo. Igualamos as expressões:
Reorganizando:
Isto é uma equação quadrática
com
,
,
. O discriminante é
As raízes são
Portanto as raízes são
Dentro do intervalo
a interseção relevante é
. A outra raiz está fora do intervalo.
Passo 4
Determinar qual curva está acima da outra em
(isso define integrando como
).
Avaliações rápidas:
- Em
: , . Logo a reta está acima da parábola em . - Em
: ambas valem (interseção).
Como as curvas se cruzam em
e a parábola cresce a partir de
enquanto a reta decresce linearmente, conclui-se que, para todo
em
, a reta
está acima da parábola
. Portanto o integrando será
.
Passo 5
Fórmula para a área entre duas curvas no intervalo
:
Se
é a função superior (mais alta) e
é a função inferior (mais baixa) em
, a área
da região limitada entre elas é
Aqui:
-
e são os limites de integração (no problema, e ); -
é a reta ; -
é a parábola .
Passo 6
Montar o integral para a área:
Simplificando o integrando:
Assim
Passo 7
Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo. Relembrando: para potências
com
,
Aplicando termo a termo:
Somando as primitivas obtemos uma antiderivada
Passo 8
Avaliar
nos limites e subtrair
.
Calcular
:
Calcular
:
O valor da integral é
, cujos termos foram calculados acima.