CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
PARÁBOLA y=x^{2}-2 x-3, x=0, x=4 e eixo -X

Passo 1

O enunciado dá as seguintes curvas/retas que limitam a região:
  • a parábola y=x^{2}-2x-3;
  • as retas verticais x=0 e x=4;
  • o eixo x (o eixo das abscissas).
O que é pedido:
  • Calcular a área da região limitada por essas quatro curvas/retas.

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar onde a parábola corta o eixo x, isto é, resolver y=0.
x^{2}-2x-3=0
Para resolver, fatoramos a quadrática. Procuramos dois números cuja soma seja -2 e produto seja -3. Esses números são -3 e 1, então:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto as raízes são x=3 e x=-1.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de y=x^{2}-2x-3 no intervalo de interesse 0\le x\le4.
  • Calculando valores: y(0)=-3 (abaixo do eixo x) e y(4)=16-8-3=5 (acima do eixo x).
  • Como a parábola tem coeficiente do x^{2} positivo, ela abre para cima. Entre as raízes a função é negativa e fora delas é positiva.
  • Das raízes, apenas x=3 pertence ao intervalo [0,4]. Logo, em [0,3) tem-se y<0, em x=3 tem-se y=0, e em (3,4] tem-se y>0.
Isso nos diz que, ao calcular a área delimitada pelo arco da parábola e pelo eixo x entre x=0 e x=4, devemos tratar separadamente os trechos onde a função está abaixo ou acima do eixo x.

Passo 4

Regra prática (explicação): a integral definida \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx dá a área algébrica entre a curva y=f(x) e o eixo x. Para obter a área geométrica (sempre positiva) entre a curva e o eixo, usamos \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx. Quando a função muda de sinal, dividimos a integral nos pontos de mudança de sinal (aqui em x=3).
Assim a área procurada é
\text{Área}=\int_{0}^{4} \big|x^{2}-2x-3\big|\,dx =\int_{0}^{3} -\big(x^{2}-2x-3\big)\,dx+\int_{3}^{4} \big(x^{2}-2x-3\big)\,dx,Á
porque em [0,3] a função é negativa (portanto |f|=-f) e em [3,4] é positiva (portanto |f|=f).

Passo 5

Calcular a primeira integral \displaystyle\int_{0}^{3} -\big(x^{2}-2x-3\big)\,dx.
Simplificando o integrando:
-\big(x^{2}-2x-3\big) = -x^{2}+2x+3.
Agora calculamos uma primitiva (antiderivada). Para cada termo:
  • \displaystyle\int -x^{2}\,dx = -\frac{1}{3}x^{3},
  • \displaystyle\int 2x\,dx = x^{2},
  • \displaystyle\int 3\,dx = 3x.
Logo uma primitiva é
F(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x.
Avaliaremos de 0 a 3:
F(3)=-\frac{1}{3}\cdot 27 + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9, \qquad F(0)=0.
Portanto
\int_{0}^{3} -\big(x^{2}-2x-3\big)\,dx = 9.

Passo 6

Calcular a segunda integral \displaystyle\int_{3}^{4} \big(x^{2}-2x-3\big)\,dx.
Encontramos uma primitiva de x^{2}-2x-3:
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}x^{3},
  • \displaystyle\int -2x\,dx = -x^{2},
  • \displaystyle\int -3\,dx = -3x.
Logo uma primitiva é
G(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x.
Avaliar de 3 a 4:
G(4)=\frac{1}{3}\cdot 64 -16 -12 = \frac{64}{3} -28 = \frac{64-84}{3} = -\frac{20}{3},
G(3)=\frac{1}{3}\cdot 27 -9 -9 = 9 -18 = -9.
Subtraindo:
\int_{3}^{4} \big(x^{2}-2x-3\big)\,dx = G(4)-G(3) = -\frac{20}{3} - (-9) = -\frac{20}{3} + 9 = \frac{7}{3}.

Passo 7

Somando as duas parcelas de área obtidas:
\text{Área total} = 9 + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} + \frac{7}{3} = \frac{34}{3}.Á
Para referência, isso equivale a aproximadamente 11{,}333\ldots, mas a forma fracionária \dfrac{34}{3} é mais exata.

Resposta

\displaystyle \frac{34}{3}

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