CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
PARÁBOLA y=x^{2}-2 x-3, x=0, x=4 e eixo -X
Passo 1
O enunciado dá as seguintes curvas/retas que limitam a região:
a parábola y=x^{2}-2x-3;
as retas verticais x=0 e x=4;
o eixo x (o eixo das abscissas).
O que é pedido:
Calcular a área da região limitada por essas quatro curvas/retas.
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar onde a parábola corta o eixo x, isto é, resolver y=0.
x^{2}-2x-3=0
Para resolver, fatoramos a quadrática. Procuramos dois números cuja soma seja -2 e produto seja -3. Esses números são -3 e 1, então:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto as raízes são x=3 e x=-1.
Passo 3
Agora analisamos o sinal de y=x^{2}-2x-3 no intervalo de interesse 0\le x\le4.
Calculando valores: y(0)=-3 (abaixo do eixo x) e y(4)=16-8-3=5 (acima do eixo x).
Como a parábola tem coeficiente do x^{2} positivo, ela abre para cima. Entre as raízes a função é negativa e fora delas é positiva.
Das raízes, apenas x=3 pertence ao intervalo [0,4]. Logo, em [0,3) tem-se y<0, em x=3 tem-se y=0, e em (3,4] tem-se y>0.
Isso nos diz que, ao calcular a área delimitada pelo arco da parábola e pelo eixo x entre x=0 e x=4, devemos tratar separadamente os trechos onde a função está abaixo ou acima do eixo x.
Passo 4
Regra prática (explicação): a integral definida \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx dá a área algébrica entre a curva y=f(x) e o eixo x. Para obter a área geométrica (sempre positiva) entre a curva e o eixo, usamos \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx. Quando a função muda de sinal, dividimos a integral nos pontos de mudança de sinal (aqui em x=3).