CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
y=-x+4, y=x^{2}-x, \quad 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado nos dá as duas curvas e o intervalo:
  • Curva 1: y=-x+4.
  • Curva 2: y=x^{2}-x.
  • Intervalo em x: 0 \leq x \leq 1.
O que o problema pede:
  • Calcular a área da região limitada pelas duas curvas no intervalo dado. Ou seja, a região formada entre as duas curvas e pelas retas verticais x=0 e x=1.
Informações úteis fornecidas (explicitamente pelo enunciado):
  • Os valores de x que limitam a região são x=0 e x=1.
  • As duas funções estão dadas explicitamente, então podemos comparar valores e integrar.

Passo 2

Decidir qual curva é a “superior” (mais alta) e qual é a “inferior” no intervalo [0,1].
Calculo a diferença entre a reta e a parábola:
(-x+4) - (x^{2}-x) = -x+4 - x^{2} + x = 4 - x^{2}.
Para todo x em [0,1] temos \,x^{2}\le 1, logo 4-x^{2}\ge 3>0. Portanto, na faixa dada a reta y=-x+4 está sempre acima da parábola y=x^{2}-x. Conclusão: função superior é y_{\text{top}}(x)=-x+4 e função inferior é y_{\text{bot}}(x)=x^{2}-x.

Passo 3

Explicar a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
Quando se quer a área entre duas curvas com respeito a x numa faixa [a,b], e se a função de cima é f(x) e a de baixo é g(x), a área é dada por
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Por que isso faz sentido? Pense em fatias verticais de largura infinitesimal dx: a altura de cada fatia é a diferença vertical f(x)-g(x), e multiplicando altura por largura e somando (integrando) obtemos a área total. Aqui as variáveis significam:
  • x é a variável de integração ao longo do eixo horizontal.
  • a e b são os limites no eixo x (aqui a=0 e b=1).
  • f(x) e g(x) são as funções top e bot, respectivamente.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao problema: os limites são a=0 e b=1, e f(x)-g(x) já vimos que é 4-x^{2}. Assim montamos o integral:
A=\int_{0}^{1}\bigl((-x+4)-(x^{2}-x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular o integral passo a passo (explicando regras de integração).
Regra usada: a integral de uma soma é soma das integrais; a integral de uma constante c é cx; a integral de x^{n} (com n\neq -1) é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo:
  • Para 4: \displaystyle\int 4\,dx = 4x.
  • Para -x^{2}: \displaystyle\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
Portanto a primitiva é 4x-\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando entre 0 e 1:
A=\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\left(4\cdot1-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(4\cdot0-\frac{0^{3}}{3}\right)=4-\frac{1}{3}-0.
Fazendo a conta em frações: 4=\dfrac{12}{3}, então 4-\dfrac{1}{3}=\dfrac{12-1}{3}=\dfrac{11}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check) e comentário final:
  • A área obtida é positiva: \dfrac{11}{3}\approx 3{,}666\ldots, o que faz sentido já que a altura mínima entre as curvas no intervalo é 3 (quando x=1) e o intervalo tem largura 1; assim a área deve ser um pouco maior que 3.
  • Método aplicável em provas: sempre identifique qual função está por cima no intervalo, escreva \int (top-bottom)\,dx com os limites corretos, encontre a primitiva e avalie entre os limites.

Resposta

\dfrac{11}{3}

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