CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
Passo 1
O enunciado nos dá as duas curvas e o intervalo:
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - Intervalo em
: .
O que o problema pede:
- Calcular a área da região limitada pelas duas curvas no intervalo dado. Ou seja, a região formada entre as duas curvas e pelas retas verticais
e .
Informações úteis fornecidas (explicitamente pelo enunciado):
- Os valores de
que limitam a região são e . - As duas funções estão dadas explicitamente, então podemos comparar valores e integrar.
Passo 2
Decidir qual curva é a “superior” (mais alta) e qual é a “inferior” no intervalo
.
Calculo a diferença entre a reta e a parábola:
Para todo
em
temos
, logo
. Portanto, na faixa dada a reta
está sempre acima da parábola
. Conclusão: função superior é
e função inferior é
.
Passo 3
Explicar a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
Quando se quer a área entre duas curvas com respeito a
numa faixa
, e se a função de cima é
e a de baixo é
, a área é dada por
Por que isso faz sentido? Pense em fatias verticais de largura infinitesimal
: a altura de cada fatia é a diferença vertical
, e multiplicando altura por largura e somando (integrando) obtemos a área total. Aqui as variáveis significam:
-
é a variável de integração ao longo do eixo horizontal. -
e são os limites no eixo (aqui e ). -
e são as funções top e bot, respectivamente.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao problema: os limites são
e
, e
já vimos que é
. Assim montamos o integral:
Passo 5
Calcular o integral passo a passo (explicando regras de integração).
Regra usada: a integral de uma soma é soma das integrais; a integral de uma constante
é
; a integral de
(com
) é
.
Aplicando termo a termo:
- Para
: . - Para
: .
Portanto a primitiva é
. Avaliando entre
e
:
Fazendo a conta em frações:
, então
.
Passo 6
Verificação rápida (sanity check) e comentário final:
- A área obtida é positiva:
, o que faz sentido já que a altura mínima entre as curvas no intervalo é (quando ) e o intervalo tem largura ; assim a área deve ser um pouco maior que . - Método aplicável em provas: sempre identifique qual função está por cima no intervalo, escreva
com os limites corretos, encontre a primitiva e avalie entre os limites.