Calcule a área, no plano cartesiano, dos seguintes polígonos:
hexágono de vértices \mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(3,1), \mathrm{C}(6,2), \mathrm{D}(6,5), E(3,6) e F(1,4).
Passo 1
O que o problema pede: calcular a área, no plano cartesiano, do hexágono com vértices dados.
Dados fornecidos (os vértices, em ordem): \mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(3,1), \mathrm{C}(6,2), \mathrm{D}(6,5), \mathrm{E}(3,6), \mathrm{F}(1,4).
Passo 2
Escolha do método e explicação do método (aulasinha rápida): vou usar a fórmula do polígono (fórmula de Gauss, também chamada de “shoelace” ou fórmula do polígono). É prática para polígonos cujos vértices são dados por coordenadas. A fórmula diz o seguinte.
Se temos n vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n) tomados em ordem ao redor do polígono (e repetimos o primeiro vértice como (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)), então a área A do polígono é
O que isso significa, em palavras: multiplica-se cada x_i pelo y do próximo vértice, soma-se tudo; faz-se o mesmo trocando o papel de x e y; subtrai-se as somas e toma-se metade do valor absoluto. O valor absoluto aparece porque a soma pode sair negativa dependendo da orientação (se os vértices estiverem em sentido horário ou anti-horário), mas área é sempre positiva. É uma fórmula simples de aplicar sem precisar de calculadora complicada — só aritmética básica.
Passo 3
Vou aplicar a fórmula ao hexágono. Primeiro escrevo os vértices numerados e repito o primeiro ao final:
Logo a área do hexágono é 19 unidades de área. (Dica final: se você fizer essa conta na prova, organize os produtos numa coluna como fiz acima — evita erros de sinal e facilita somar.)