Calcule a área, no plano cartesiano, dos seguintes polígonos:
hexágono de vértices \mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(3,1), \mathrm{C}(6,2), \mathrm{D}(6,5), E(3,6) e F(1,4).

Passo 1

O que o problema pede: calcular a área, no plano cartesiano, do hexágono com vértices dados.
Dados fornecidos (os vértices, em ordem):
\mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(3,1), \mathrm{C}(6,2), \mathrm{D}(6,5), \mathrm{E}(3,6), \mathrm{F}(1,4).

Passo 2

Escolha do método e explicação do método (aulasinha rápida): vou usar a fórmula do polígono (fórmula de Gauss, também chamada de “shoelace” ou fórmula do polígono). É prática para polígonos cujos vértices são dados por coordenadas. A fórmula diz o seguinte.
Se temos n vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n) tomados em ordem ao redor do polígono (e repetimos o primeiro vértice como (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)), então a área A do polígono é
A=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1}\bigr)\right|.
O que isso significa, em palavras: multiplica-se cada x_i pelo y do próximo vértice, soma-se tudo; faz-se o mesmo trocando o papel de x e y; subtrai-se as somas e toma-se metade do valor absoluto. O valor absoluto aparece porque a soma pode sair negativa dependendo da orientação (se os vértices estiverem em sentido horário ou anti-horário), mas área é sempre positiva. É uma fórmula simples de aplicar sem precisar de calculadora complicada — só aritmética básica.

Passo 3

Vou aplicar a fórmula ao hexágono. Primeiro escrevo os vértices numerados e repito o primeiro ao final:
( x_1,y_1)=(1,2),\; ( x_2,y_2)=(3,1),\; ( x_3,y_3)=(6,2),\; ( x_4,y_4)=(6,5),\; ( x_5,y_5)=(3,6),\; ( x_6,y_6)=(1,4),\; ( x_7,y_7)=(x_1,y_1)=(1,2).
Calculo separadamente as parcelas x_i y_{i+1} (parte “para frente”) e y_i x_{i+1} (parte “para trás”).
Parte “para frente”: x_i y_{i+1}
\begin{aligned} x_1 y_2 &= 1\cdot 1 = 1,\\\ x_2 y_3 &= 3\cdot 2 = 6,\\\ x_3 y_4 &= 6\cdot 5 = 30,\\\ x_4 y_5 &= 6\cdot 6 = 36,\\\ x_5 y_6 &= 3\cdot 4 = 12,\\\ x_6 y_1 &= 1\cdot 2 = 2. \end{aligned}

Passo 4

Somando essas parcelas “para frente”:
\sum_{i=1}^{6} x_i y_{i+1} = 1+6+30+36+12+2 = 87.

Passo 5

Agora as parcelas “para trás”: y_i x_{i+1}
\begin{aligned} y_1 x_2 &= 2\cdot 3 = 6,\\\ y_2 x_3 &= 1\cdot 6 = 6,\\\ y_3 x_4 &= 2\cdot 6 = 12,\\\ y_4 x_5 &= 5\cdot 3 = 15,\\\ y_5 x_6 &= 6\cdot 1 = 6,\\\ y_6 x_1 &= 4\cdot 1 = 4. \end{aligned}

Passo 6

Somando essas parcelas “para trás”:
\sum_{i=1}^{6} y_i x_{i+1} = 6+6+12+15+6+4 = 49.

Passo 7

Agora aplico a fórmula: subtraio as somas, tomo o valor absoluto e divido por 2:
A=\frac{1}{2}\left|\,\sum_{i=1}^{6} x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{6} y_i x_{i+1}\right| =\frac{1}{2}\left|\,87-49\right| =\frac{1}{2}\cdot 38 = 19.
Logo a área do hexágono é 19 unidades de área. (Dica final: se você fizer essa conta na prova, organize os produtos numa coluna como fiz acima — evita erros de sinal e facilita somar.)

Resposta

19

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