Calcule a área, no plano cartesiano, dos seguintes polígonos:
pentágono de vértices \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(6,3), \mathrm{D}(4,5) \mathrm{e} \mathrm{E}(2,4).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a área do pentágono cujos vértices são \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(6,3), \mathrm{D}(4,5) e \mathrm{E}(2,4).
Informações dadas (listei exatamente como vieram): \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(6,3), \mathrm{D}(4,5), \mathrm{E}(2,4).
Meta: devolver a área numérica do polígono no plano cartesiano.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática): vou usar a fórmula do polígono pelo método da “sela” ou “shoelace” (regra de Gauss). É um método direto para polígonos simples dados por coordenadas em ordem: calcula a área como metade do valor absoluto da soma das diferenças dos produtos cruzados das coordenadas consecutivas. É rápido na prova e evita ter que decompor em triângulos manualmente (que também funciona, mas dá mais conta). Vou explicar a fórmula com calma.
A fórmula (apresentação): se o polígono tem vértices (x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n) escritos em ordem (horária ou anti-horária), então
O somatório percorre todos os vértices, multiplicando x_i pelo y do próximo vértice e subtraindo o produto do próximo x pelo y atual.
O valor absoluto garante que a área seja positiva; o fator \tfrac{1}{2} surge porque a soma dos produtos dá o dobro da área (intuitivamente, é soma de áreas orientadas).
Exemplo mental rápido: para um triângulo com 3 pontos a fórmula dá exatamente a área do triângulo usando determinantes 2×2 — é a mesma ideia estendida.
Passo 3
Organizar os pontos na ordem dada e fechar o ciclo voltando a \mathrm{A}: