Calcule a área, no plano cartesiano, dos seguintes polígonos:
pentágono de vértices \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(6,3), \mathrm{D}(4,5) \mathrm{e} \mathrm{E}(2,4).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a área do pentágono cujos vértices são \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(6,3), \mathrm{D}(4,5) e \mathrm{E}(2,4).
Informações dadas (listei exatamente como vieram): \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(6,3), \mathrm{D}(4,5), \mathrm{E}(2,4).
Meta: devolver a área numérica do polígono no plano cartesiano.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática): vou usar a fórmula do polígono pelo método da “sela” ou “shoelace” (regra de Gauss). É um método direto para polígonos simples dados por coordenadas em ordem: calcula a área como metade do valor absoluto da soma das diferenças dos produtos cruzados das coordenadas consecutivas. É rápido na prova e evita ter que decompor em triângulos manualmente (que também funciona, mas dá mais conta). Vou explicar a fórmula com calma.
A fórmula (apresentação): se o polígono tem vértices (x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n) escritos em ordem (horária ou anti-horária), então
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i)\right|Á
onde por convenção (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1).
O que significa cada símbolo:
  • \text{Área}Á é a área do polígono que queremos.
  • x_i e y_i são as coordenadas do i-ésimo vértice.
  • O somatório percorre todos os vértices, multiplicando x_i pelo y do próximo vértice e subtraindo o produto do próximo x pelo y atual.
  • O valor absoluto garante que a área seja positiva; o fator \tfrac{1}{2} surge porque a soma dos produtos dá o dobro da área (intuitivamente, é soma de áreas orientadas).
Exemplo mental rápido: para um triângulo com 3 pontos a fórmula dá exatamente a área do triângulo usando determinantes 2×2 — é a mesma ideia estendida.

Passo 3

Organizar os pontos na ordem dada e fechar o ciclo voltando a \mathrm{A}:
\mathrm{A}(1,1),\\ \mathrm{B}(4,1),\\ \mathrm{C}(6,3),\\ \mathrm{D}(4,5),\\ \mathrm{E}(2,4),\\ \mathrm{A}(1,1).
Agora calculamos os termos x_i y_{i+1} para cada vértice:
\begin{aligned} x_{\mathrm{A}}y_{\mathrm{B}} &= 1\cdot 1 = 1,\\[4pt] x_{\mathrm{B}}y_{\mathrm{C}} &= 4\cdot 3 = 12,\\[4pt] x_{\mathrm{C}}y_{\mathrm{D}} &= 6\cdot 5 = 30,\\[4pt] x_{\mathrm{D}}y_{\mathrm{E}} &= 4\cdot 4 = 16,\\[4pt] x_{\mathrm{E}}y_{\mathrm{A}} &= 2\cdot 1 = 2. \end{aligned}
Somando esses produtos obtemos
\sum x_i y_{i+1} = 1+12+30+16+2 = 61.]

Passo 4

Agora calculamos os termos x_{i+1} y_i (o produto cruzado na outra ordem):
\begin{aligned} x_{\mathrm{B}}y_{\mathrm{A}} &= 4\cdot 1 = 4,\\[4pt] x_{\mathrm{C}}y_{\mathrm{B}} &= 6\cdot 1 = 6,\\[4pt] x_{\mathrm{D}}y_{\mathrm{C}} &= 4\cdot 3 = 12,\\[4pt] x_{\mathrm{E}}y_{\mathrm{D}} &= 2\cdot 5 = 10,\\[4pt] x_{\mathrm{A}}y_{\mathrm{E}} &= 1\cdot 4 = 4. \end{aligned}
Somando esses produtos obtemos
\sum x_{i+1} y_i = 4+6+12+10+4 = 36.]

Passo 5

Subtrair as somas conforme a fórmula e aplicar o fator \tfrac{1}{2}:
\sum (x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i) = 61-36 = 25.
Portanto a área é
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\left|25\right|=\tfrac{25}{2}.Á
Se preferir em decimal isso é 12{,}5 unidades de área.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (útil e prático):
  • Sempre escreva os pontos em ordem e repita o primeiro no fim; evita erro de índice.
  • Faça duas colunas: uma para x_i y_{i+1} e outra para x_{i+1}y_i; some e subtraia — é menos sujeito a erro do que tentar memorizar sinais.
  • Se der um número negativo no somatório antes do valor absoluto, não se assuste: apenas tome o valor absoluto no final.
  • Se o enunciado não der a ordem dos vértices, pergunte ou ordene-os (por exemplo, em sentido horário) — aqui a ordem foi fornecida, então usamos ela.

Resposta

\dfrac{25}{2}

Exercícios relacionados