Calcule a área, no plano cartesiano, dos seguintes polígonos:
quadrilátero de vértices A(1,1), B(6,1), C(7,4) e D(2,4).
Passo 1
O enunciado pede a área, no plano cartesiano, do quadrilátero com vértices A(1,1), B(6,1), C(7,4) e D(2,4). Informações relevantes fornecidas:
Coordenadas dos quatro vértices: A(1,1), B(6,1), C(7,4), D(2,4).
A pergunta é: calcular a área do quadrilátero formado por esses pontos.
Passo 2
Vamos verificar a orientação dos lados para entender a forma do polígono. Para isso usamos a fórmula do coeficiente angular (declive) entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Calculemos os declives dos lados AB, BC, CD e DA:
Passo 3
Declive de AB:
m_{AB}=\frac{1-1}{6-1}=\frac{0}{5}=0.
Declive de CD:
m_{CD}=\frac{4-4}{7-2}=\frac{0}{5}=0.
Como m_{AB}=m_{CD}=0, os segmentos AB e CD são paralelos e horizontais.
Passo 4
Declive de AD:
m_{AD}=\frac{4-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3.
Declive de BC:
m_{BC}=\frac{4-1}{7-6}=\frac{3}{1}=3.
Como m_{AD}=m_{BC}=3, os segmentos AD e BC são paralelos. Portanto temos um quadrilátero com pares de lados opostos paralelos — isto é, um paralelogramo. (Boa! Identificar isso facilita muito.)
Passo 5
Num paralelogramo a área é dada por
\text{Área} = \text{base} \times \text{altura},
onde a base é o comprimento de um lado e a altura é a distância perpendicular entre as bases. Vamos escolher a base AB (horizontal).
Passo 6
Calculamos o comprimento da base AB usando a fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
Como AB e CD são horizontais (mesmo y), a altura do paralelogramo é simplesmente a diferença entre as ordenadas das retas horizontais y=1 (onde estão A e B) e y=4 (onde estão D e C):
\text{altura}=|4-1|=3.
Passo 8
Agora aplicamos a fórmula da área do paralelogramo:
Pronto — chegamos a 15. Vou mostrar também uma verificação alternativa (útil para prova) usando a fórmula dos determinantes (fórmula do polígono / “shoelace”) para confirmar.
Passo 9
Fórmula do “shoelace” para a área de um polígono convexo com vértices (x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n) (em ordem) é