Calcule a área, no plano cartesiano, dos seguintes polígonos:
quadrilátero de vértices A(1,1), B(6,1), C(7,4) e D(2,4).

Passo 1

O enunciado pede a área, no plano cartesiano, do quadrilátero com vértices A(1,1), B(6,1), C(7,4) e D(2,4). Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas dos quatro vértices: A(1,1), B(6,1), C(7,4), D(2,4).
  • A pergunta é: calcular a área do quadrilátero formado por esses pontos.

Passo 2

Vamos verificar a orientação dos lados para entender a forma do polígono. Para isso usamos a fórmula do coeficiente angular (declive) entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Calculemos os declives dos lados AB, BC, CD e DA:

Passo 3

Declive de AB:
m_{AB}=\frac{1-1}{6-1}=\frac{0}{5}=0.
Declive de CD:
m_{CD}=\frac{4-4}{7-2}=\frac{0}{5}=0.
Como m_{AB}=m_{CD}=0, os segmentos AB e CD são paralelos e horizontais.

Passo 4

Declive de AD:
m_{AD}=\frac{4-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3.
Declive de BC:
m_{BC}=\frac{4-1}{7-6}=\frac{3}{1}=3.
Como m_{AD}=m_{BC}=3, os segmentos AD e BC são paralelos. Portanto temos um quadrilátero com pares de lados opostos paralelos — isto é, um paralelogramo. (Boa! Identificar isso facilita muito.)

Passo 5

Num paralelogramo a área é dada por
\text{Área} = \text{base} \times \text{altura},Á
onde a base é o comprimento de um lado e a altura é a distância perpendicular entre as bases. Vamos escolher a base AB (horizontal).

Passo 6

Calculamos o comprimento da base AB usando a fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aplicando a A(1,1) e B(6,1):
AB=\sqrt{(6-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{5^2+0}=\sqrt{25}=5.

Passo 7

Como AB e CD são horizontais (mesmo y), a altura do paralelogramo é simplesmente a diferença entre as ordenadas das retas horizontais y=1 (onde estão A e B) e y=4 (onde estão D e C):
\text{altura}=|4-1|=3.

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula da área do paralelogramo:
\text{Área} = \text{base}\times\text{altura}=5\times 3=15.Á
Pronto — chegamos a 15. Vou mostrar também uma verificação alternativa (útil para prova) usando a fórmula dos determinantes (fórmula do polígono / “shoelace”) para confirmar.

Passo 9

Fórmula do “shoelace” para a área de um polígono convexo com vértices (x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n) (em ordem) é
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{n} y_i x_{i+1}\right|,Á
onde (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1). Aplicando aos pontos na ordem A\to B\to C\to D\to A:

Passo 10

Calculemos as duas somas:
\sum x_i y_{i+1}=1\cdot 1 + 6\cdot 4 + 7\cdot 4 + 2\cdot 1 = 1 + 24 + 28 + 2 = 55,
\sum y_i x_{i+1}=1\cdot 6 + 1\cdot 7 + 4\cdot 2 + 4\cdot 1 = 6 + 7 + 8 + 4 = 25.

Passo 11

Aplicando na fórmula:
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|55-25\right|=\frac{1}{2}\cdot 30=15.Á
A verificação confirma o resultado anterior.

Resposta

\,15

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