Calcule a área da região R em cada item:
R é a região delimitada pelas curvas de equações y=x, x y^2=1 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y = x, x,y^2 = 1, y = 2
O conteúdo é cálculo de área por integração simples: vamos achar os pontos de interseção, descrever a região em função de y e montar um único integral.

Passo 2

Determinar os pontos onde as curvas se cruzam.
Entre y=x e x,y^2=1 substituímos y=x:
xcdot x^2=1Longrightarrow x^3=1Longrightarrow x=1,;y=1
Entre x,y^2=1 e y=2:
xcdot 2^2=1Longrightarrow x=14,;y=2
Entre y=x e y=2 basta igualar:
x=y=2

Passo 3

Para y variando de 1 até 2, a curva x,y^2=1 pode ser escrita como
xesq=1y^2
e a reta y=x como
xdir=y
Então a largura horizontal da região em cada y é
xdir-xesq = y - 1y^2,
e a área é
A=integraly=1^2l(y - tfrac1y^2r),dy

Passo 4

Calcular separadamente os dois termos:
integral1^2y,dy =l[tfracy^22r]1^2 =42-12 =32,
integral1^21y^2,dy =l[-tfrac1yr]1^2 =-12-(-1) =12
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A =32-12 =1

Resposta

1

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