Calcule a área da região R em cada item:
R é a região compreendida entre os gráficos y=x^2+2 e y=x+8.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região R que está entre os gráficos de y = x^2 + 2 e y = x + 8. A gente vai usar cálculo, mais especificamente o cálculo de áreas entre curvas. Para isso, precisamos achar onde essas duas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas funções:
x^2 + 2 = x + 8

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x onde as curvas se cruzam:
x^2 + 2 - x - 8 = 0 x^2 - x - 6 = 0

Passo 4

Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Então, as soluções são x = 3 e x = -2.

Passo 5

Agora que sabemos que as curvas se cruzam nos pontos x = -2 e x = 3, vamos determinar qual das duas funções está por cima nesse intervalo. Para isso, podemos escolher um valor de x entre -2 e 3, por exemplo, x = 0:
y = 0 + 8 = 8 y = 0^2 + 2 = 2
Como 8 > 2, a função y = x + 8 está acima de y = x^2 + 2 nesse intervalo.

Passo 6

A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
Área = integrala^b (ysuperior - yinferior) , dx Á
Substituindo as funções e os limites que encontramos:
Área = integral-2^3 [(x + 8) - (x^2 + 2)] , dx = integral-2^3 (-x^2 + x + 6) , dx Á

Passo 7

Vamos integrar cada termo da função dentro da integral:
integral (-x^2) , dx = -x^33 integral x , dx = x^22 integral 6 , dx = 6x
Então, a integral fica:
Área = [ -x^33 + x^22 + 6x ]-2^3 Á

Passo 8

Agora, vamos calcular essa expressão nos limites x = 3 e x = -2:
Para x = 3:
- 273 + 92 + 18 = -9 + 4,5 + 18 = 13,5
Para x = -2:
- -83 + 42 + (-12) = 83 + 2 - 12 = -223

Passo 9

A área total é a diferença entre os valores nos limites:
13,5 - (-223) = 13,5 + 223 = 816 + 446 = 1256 approx 20,83

Resposta

A área da região R é 1256 unidades quadradas, aproximadamente 20,83.

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