Calcule a área da região
em cada item:
é a região compreendida entre os gráficos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região
que está entre os gráficos de
e
. A gente vai usar cálculo, mais especificamente o cálculo de áreas entre curvas. Para isso, precisamos achar onde essas duas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se cruzam:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são
e
.
Passo 5
Agora que sabemos que as curvas se cruzam nos pontos
e
, vamos determinar qual das duas funções está por cima nesse intervalo. Para isso, podemos escolher um valor de
entre -2 e 3, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
Substituindo as funções e os limites que encontramos:
Passo 7
Vamos integrar cada termo da função dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular essa expressão nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
A área total é a diferença entre os valores nos limites:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas, aproximadamente
.