Calcule a área da região D , limitada pelas curvas f(x)=x^3-2 x e g(x)=x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas
f(x)=x^3-2x
e
g(x)=x^2
O conteúdo principal é o cálculo de área entre duas curvas via integrais definidas. Para isso, precisamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção de f e g.
  2. Determinar em cada subintervalo qual função está acima.
  3. Montar as integrais com a diferença apropriada e calculá-las.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
x^3-2x = x^2
x^3-x^2-2x = 0
x(x^2-x-2)=0
x(x-2)(x+1)=0
Logo, os pontos de interseção são x=-1,,0,,2.

Passo 3

Analisar o sinal de
f(x)-g(x)=x^3-2x - x^2=x(x-2)(x+1)
em cada intervalo entre -1,0,2:
  • Em (-1,0), f(x)-g(x)>0, ou seja, f(x) está acima de g(x).
  • Em (0,2), f(x)-g(x)<0, ou seja, g(x) está acima de f(x).

Passo 4

Configurar a área como soma de duas integrais, sempre subtraindo a função de baixo da função de cima:
A = integral-1^0l(f(x)-g(x)r),dx ;+;integral0^2l(g(x)-f(x)r),dx
A = integral-1^0l(x^3-x^2-2xr),dx ;+;integral0^2l(-x^3+x^2+2xr),dx

Passo 5

Calcular antiderivadas e avaliar nos limites:
A antiderivada de x^3-x^2-2x é
x^44-x^33-x^2,
que de -1 a 0
[x^44-x^33-x^2]-1^0 =0-l(tfrac14+tfrac13-1r) =tfrac512
A antiderivada de -x^3+x^2+2x é
-x^44+x^33+x^2,
que de 0 a 2
[-x^44+x^33+x^2]0^2 =-4+83+4 =83
Somando as duas parcelas:
A = 512 + 83 = 512 + 3212 = 3712

Resposta

A área da região D é tfrac3712.

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