Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
y=e E y=x^{2}, x=0 e x=1
y=e E y=x^{2}, x=0 e x=1
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Curva 1:
— reta horizontal constante no nível . - Curva 2:
— parábola. - Retas verticais:
e — intervalos de que fecham a região. - Pergunta: encontrar a área da região fechada por essas quatro curvas.
Passo 2
Escolha do método: usar integração em relação a
com “fatias verticais” (retângulos de base
). Regra para área entre duas curvas: se, num intervalo
, uma função
está acima de
, então a área é
Explicando a fórmula: para cada
entre
e
, a seção vertical tem altura
e espessura
; somando (integrando) essas áreas infinitesimais obtém-se a área total.
Passo 3
Determinar qual função é a de cima e qual a de baixo no intervalo
.
Para
tem-se
. Como
e
, conclui-se que, em todo o intervalo
,
Logo
e
. Os limites de integração são
e
(dados pelas retas verticais).
Passo 4
Montar a integral para a área usando a fórmula do Passo 2:
Aqui:
-
é a variável de integração (varre de a ); -
é uma constante; -
indica que somamos fatias de largura infinitesimal.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro, separar e integrar termo a termo:
Antiderivadas:
- Antiderivada de
em relação a é porque . - Antiderivada de
é porque .
Portanto a primitiva da integranda é
.
Passo 6
Avaliar a primitiva entre
e
:
Numéricas: se quiser um valor aproximado,
.
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo: a região é simplesmente a faixa entre a reta horizontal
e a parábola
de
até
. Montar a integral do tipo “topo menos base” e integrar é a técnica usada com frequência — pratique esse padrão em outros exercícios que aparecerem na prova. Você está indo bem; respira fundo e repete esse procedimento com outras curvas que aparecerem.