Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
y=e E y=x^{2}, x=0 e x=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas y=e, y=x^{2}, x=0 e x=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Curva 1: y=e — reta horizontal constante no nível e.
  • Curva 2: y=x^{2} — parábola.
  • Retas verticais: x=0 e x=1 — intervalos de x que fecham a região.
  • Pergunta: encontrar a área da região fechada por essas quatro curvas.

Passo 2

Escolha do método: usar integração em relação a x com “fatias verticais” (retângulos de base dx). Regra para área entre duas curvas: se, num intervalo [a,b], uma função y_{\text{top}}(x) está acima de y_{\text{bot}}(x), então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Explicando a fórmula: para cada x entre a e b, a seção vertical tem altura y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x) e espessura dx; somando (integrando) essas áreas infinitesimais obtém-se a área total.

Passo 3

Determinar qual função é a de cima e qual a de baixo no intervalo x\in[0,1].
Para x\in[0,1] tem-se x^{2}\le 1. Como e\approx 2{,}718 e 1<e, conclui-se que, em todo o intervalo [0,1],
x^{2} < e.
Logo y_{\text{top}}(x)=e e y_{\text{bot}}(x)=x^{2}. Os limites de integração são a=0 e b=1 (dados pelas retas verticais).

Passo 4

Montar a integral para a área usando a fórmula do Passo 2:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(e - x^{2}\bigr)\,dx.Á
Aqui:
  • x é a variável de integração (varre de 0 a 1);
  • e é uma constante;
  • dx indica que somamos fatias de largura infinitesimal.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro, separar e integrar termo a termo:
\int_{0}^{1}\bigl(e - x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} e\,dx \;-\; \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Antiderivadas:
  • Antiderivada de e em relação a x é e x porque \dfrac{d}{dx}(e x)=e.
  • Antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3} porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}.
Portanto a primitiva da integranda é F(x)=e x - \dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar a primitiva entre 0 e 1:
\text{Área}= \left[e x - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \biggl(e\cdot 1 - \dfrac{1^{3}}{3}\biggr) - \biggl(e\cdot 0 - \dfrac{0^{3}}{3}\biggr) = e - \dfrac{1}{3}.Á
Numéricas: se quiser um valor aproximado, e-\tfrac{1}{3}\approx 2{,}7182818 - 0{,}3333333 \approx 2{,}3849485.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: a região é simplesmente a faixa entre a reta horizontal y=e e a parábola y=x^{2} de x=0 até x=1. Montar a integral do tipo “topo menos base” e integrar é a técnica usada com frequência — pratique esse padrão em outros exercícios que aparecerem na prova. Você está indo bem; respira fundo e repete esse procedimento com outras curvas que aparecerem.

Resposta

e-\tfrac{1}{3}

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