Calcule as seguintes integrais:
\int\left(2 x^{2}-x+4\right) /\left(x^{2}+4 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{2x^{2}-x+4}{x^{2}+4x}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A integranda é uma função racional, razão de dois polinômios.
  • O numerador é \,2x^{2}-x+4\, e o denominador é \,x^{2}+4x\,.
  • O denominador pode ser fatorado como \,x(x+4)\,.
  • Observação útil: o grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau 2), então convém fazer divisão polinomial antes de decompor em frações parciais.

Passo 2

Por que dividir? Quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é melhor dividir para obter uma parte polinomial mais uma fração própria (com numerador de grau menor que o denominador). Fazendo a divisão:
\frac{2x^{2}-x+4}{x^{2}+4x}=2+\frac{(2x^{2}-x+4)-2(x^{2}+4x)}{x^{2}+4x}.
Calcule o resto:
(2x^{2}-x+4)-2(x^{2}+4x)=2x^{2}-x+4-2x^{2}-8x=-9x+4.
Logo
\frac{2x^{2}-x+4}{x^{2}+4x}=2+\frac{-9x+4}{x(x+4)}.

Passo 3

Agora decomponha a fração própria \dfrac{-9x+4}{x(x+4)} em frações parciais. Procura-se constantes A e B tais que
\frac{-9x+4}{x(x+4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+4}.
Juntando denominadores obtemos
\frac{A(x+4)+Bx}{x(x+4)}=\frac{(A+B)x+4A}{x(x+4)}.
Comparando coeficientes com \dfrac{-9x+4}{x(x+4)} temos o sistema
A+B=-9,\qquad 4A=4.
Da segunda equação vem A=1. Então B=-9-A=-10. Portanto
\frac{-9x+4}{x(x+4)}=\frac{1}{x}-\frac{10}{x+4}.
Assim a integranda fica
\frac{2x^{2}-x+4}{x^{2}+4x}=2+\frac{1}{x}-\frac{10}{x+4}.

Passo 4

Integre termo a termo. Recordando as fórmulas básicas:
  • \displaystyle \int a\,dx = a x + C para constante a.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+4}\,dx = \ln|x+4| + C (mudança de variável simples).
Assim
\int \left(2+\frac{1}{x}-\frac{10}{x+4}\right)dx = \int 2\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx -10\int \frac{1}{x+4}\,dx.
Calculando:
\int 2\,dx = 2x,\qquad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,\qquad \int \frac{1}{x+4}\,dx=\ln|x+4|.
Portanto, somando tudo e incluindo a constante de integração C,
\int \frac{2x^{2}-x+4}{x^{2}+4x}\,dx = 2x+\ln|x|-10\ln|x+4|+C.

Resposta

2x+\ln|x|-10\ln|x+4|+C

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