Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A integranda é uma função racional, razão de dois polinômios.
- O numerador é
e o denominador é . - O denominador pode ser fatorado como
. - Observação útil: o grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau
), então convém fazer divisão polinomial antes de decompor em frações parciais.
Passo 2
Por que dividir? Quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é melhor dividir para obter uma parte polinomial mais uma fração própria (com numerador de grau menor que o denominador). Fazendo a divisão:
Calcule o resto:
Logo
Passo 3
Agora decomponha a fração própria
em frações parciais. Procura-se constantes
e
tais que
Juntando denominadores obtemos
Comparando coeficientes com
temos o sistema
Da segunda equação vem
. Então
. Portanto
Assim a integranda fica
Passo 4
Integre termo a termo. Recordando as fórmulas básicas:
-
para constante . -
. -
(mudança de variável simples).
Assim
Calculando:
Portanto, somando tudo e incluindo a constante de integração
,