Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{tg}^{3}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \tan^{3}(x)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \tan^{3}(x). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\tan^{3}(x). Não há outras condições (constante de integração C deve aparecer na resposta).

Passo 2

Primeiro passo prático: usar uma identidade trigonométrica simples para reduzir a potência ímpar de \tan. Lembre-se da identidade
\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1.
Aplicando-a em \tan^{3}(x)=\tan(x)\tan^{2}(x) obtemos
\tan^{3}(x)=\tan(x)\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\bigr)=\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)-\tan(x).

Passo 3

Com isso a integral se separa em duas mais simples:
\int \tan^{3}(x)\,dx = \int \tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx - \int \tan(x)\,dx.
Agora vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Observação: \operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x)=\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigr). Uma substituição natural é \;u=\operatorname{sec}(x)\;, porque
du = \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx.
Então
\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx\bigr)=\operatorname{sec}(x)\,du = u\,du.
Integrando u\,du obtemos
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{2} + C.
Portanto
\int \tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{2} + C.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \tan(x)\,dx.
Escrevendo \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e fazendo a substituição \;v=\cos(x)\;, tem-se dv=-\sin(x)\,dx. Assim
\int \tan(x)\,dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx = -\int \frac{dv}{v} = -\ln|v| + C = -\ln|\cos(x)| + C.
Outra forma equivalente é \int \tan(x)\,dx = \ln|\operatorname{sec}(x)| + C, pois \ln|\operatorname{sec}(x)|=-\ln|\cos(x)|.

Passo 6

Juntando os dois resultados (e agrupando constantes numa só constante C):
\int \tan^{3}(x)\,dx = \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{2} - \bigl(-\ln|\cos(x)|\bigr) + C = \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{2} + \ln|\cos(x)| + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando para checar): derivando \displaystyle F(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{2}+\ln|\cos(x)| tem-se
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x) + \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = \operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x)-\tan(x)=\tan(x)\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\bigr)=\tan^{3}(x),
confirmando que a primitiva está correta.

Passo 8

Dica de prova: quando aparecer \tan^{n}x com n ímpar, é útil separar um fator \tan x e usar \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1; muitas integrais se resolvem por substituição com u=\operatorname{sec} x ou u=\cos x. Força — tá passando rápido, mas você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{2} + \ln|\cos(x)| + C

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