Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (constante de integração
deve aparecer na resposta).
Passo 2
Primeiro passo prático: usar uma identidade trigonométrica simples para reduzir a potência ímpar de
. Lembre-se da identidade
Aplicando-a em
obtemos
Passo 3
Com isso a integral se separa em duas mais simples:
Agora vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 4
Calcular
.
Observação:
. Uma substituição natural é
, porque
Então
Integrando
obtemos
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Escrevendo
e fazendo a substituição
, tem-se
. Assim
Outra forma equivalente é
, pois
.
Passo 6
Juntando os dois resultados (e agrupando constantes numa só constante
):
Passo 7
Verificação rápida (derivando para checar): derivando
tem-se
confirmando que a primitiva está correta.
Passo 8
Dica de prova: quando aparecer
com
ímpar, é útil separar um fator
e usar
; muitas integrais se resolvem por substituição com
ou
. Força — tá passando rápido, mas você consegue!