Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
y=1 / x, y=2 e x=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região delimitada pelas curvas y=\dfrac{1}{x}, y=2 e x=1.
Informações dadas:
  • A curva y=\dfrac{1}{x}.
  • A reta horizontal y=2.
  • A reta vertical x=1.
O que precisamos encontrar:
  • A área da região fechada que tem essas três curvas como fronteira (ou seja, a medida em unidades quadradas da região limitada por elas).

Passo 2

Primeiro passo prático: entender onde essas curvas se encontram — isto vai dar os limites de integração. Vamos achar as interseções relevantes resolvendo equações entre as curvas.
Intersecção entre y=\dfrac{1}{x} e y=2. Igualando:
\frac{1}{x}=2.
Resolve-se isolando x:
x=\frac{1}{2}.
Intersecção entre x=1 e y=\dfrac{1}{x}. Substituindo x=1 em y=\dfrac{1}{x}:
y=\frac{1}{1}=1.
Também a reta x=1 intersecta y=2 em (1,2). Assim temos os pontos de contorno importantes: \left(\tfrac{1}{2},2\right), (1,2) e (1,1).

Passo 3

Visualização da região (mental ou um rascunho ajuda): para x entre \tfrac{1}{2} e 1, a curva y=\dfrac{1}{x} decresce de 2 para 1. A linha y=2 está acima da hipérbole nesse intervalo, e a reta vertical x=1 é a fronteira direita. Portanto a região fechada tem, para cada x em \left[\tfrac{1}{2},1\right], o segmento vertical entre y=\dfrac{1}{x} (embaixo) e y=2 (embaixo? — atenção: neste caso 2 é maior que 1/x, então 2 é o topo) como as fronteiras superior e inferior.
Resumo para montar a integral:
  • limites em x: de x=\tfrac{1}{2} até x=1,
  • função superior (topo): y_{\text{top}}=2,
  • função inferior (fundo): y_{\text{bot}}=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Agora a fórmula para área entre duas curvas quando se integra em x: se uma região é limitada lateralmente por x=a e x=b, e verticalmente por y=f(x) (topo) e y=g(x) (fundo) com f(x)\ge g(x) para todo x\in[a,b], então a área A é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Explicação didática: imagine fatias verticais estreitas de largura dx; a altura de cada fatia é f(x)-g(x); a área aproximada de uma fatia é (f(x)-g(x))\,dx; somando (integrando) essas fatias de a a b obtemos a área total. O Teorema Fundamental do Cálculo permite calcular essa soma como antiderivadas avaliadas em a e b.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso, com a=\tfrac{1}{2}, b=1, f(x)=2 e g(x)=\dfrac{1}{x}, temos
A=\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\left(2-\frac{1}{x}\right)\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo. Separando os termos:
A=\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}2\,dx-\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\frac{1}{x}\,dx.
Antiderivadas necessárias:
  • A antiderivada de 2 em relação a x é 2x, porque \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • A antiderivada de \dfrac{1}{x} é \ln|x|, porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}.
Portanto uma antiderivada para o integrando 2-\dfrac{1}{x} é 2x-\ln|x|.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a antiderivada:
A=\Bigl[\,2x-\ln|x|\,\Bigr]_{x=\tfrac{1}{2}}^{x=1}.
Compute cada termo:
\text{em }x=1:\quad 2\cdot 1-\ln|1|=2-0=2.
\text{em }x=\tfrac{1}{2}:\quad 2\cdot\frac{1}{2}-\ln\!\left|\frac{1}{2}\right|=1-\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).
Subtraindo:
A=2-\biggl(1-\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)\biggr)=2-1+\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=1+\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 7

Simplificar o logaritmo: \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2. Assim
A=1-\ln 2.
Para ter uma ideia numérica, \ln 2\approx 0,693147, então
A\approx 1-0,693147\approx 0,306853.
Mas a forma exata é 1-\ln 2.

Resposta

1-\ln 2

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