Calcule a área da região delimitada pelas curvas: y=1 / x, y=2 e x=1
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região delimitada pelas curvas y=\dfrac{1}{x}, y=2 e x=1.
Informações dadas:
A curva y=\dfrac{1}{x}.
A reta horizontal y=2.
A reta vertical x=1.
O que precisamos encontrar:
A área da região fechada que tem essas três curvas como fronteira (ou seja, a medida em unidades quadradas da região limitada por elas).
Passo 2
Primeiro passo prático: entender onde essas curvas se encontram — isto vai dar os limites de integração. Vamos achar as interseções relevantes resolvendo equações entre as curvas.
Intersecção entre y=\dfrac{1}{x} e y=2. Igualando:
\frac{1}{x}=2.
Resolve-se isolando x:
x=\frac{1}{2}.
Intersecção entre x=1 e y=\dfrac{1}{x}. Substituindo x=1 em y=\dfrac{1}{x}:
y=\frac{1}{1}=1.
Também a reta x=1 intersecta y=2 em (1,2). Assim temos os pontos de contorno importantes: \left(\tfrac{1}{2},2\right), (1,2) e (1,1).
Passo 3
Visualização da região (mental ou um rascunho ajuda): para x entre \tfrac{1}{2} e 1, a curva y=\dfrac{1}{x} decresce de 2 para 1. A linha y=2 está acima da hipérbole nesse intervalo, e a reta vertical x=1 é a fronteira direita. Portanto a região fechada tem, para cada x em \left[\tfrac{1}{2},1\right], o segmento vertical entre y=\dfrac{1}{x} (embaixo) e y=2 (embaixo? — atenção: neste caso 2 é maior que 1/x, então 2 é o topo) como as fronteiras superior e inferior.
Agora a fórmula para área entre duas curvas quando se integra em x: se uma região é limitada lateralmente por x=a e x=b, e verticalmente por y=f(x) (topo) e y=g(x) (fundo) com f(x)\ge g(x) para todo x\in[a,b], então a área A é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Explicação didática: imagine fatias verticais estreitas de largura dx; a altura de cada fatia é f(x)-g(x); a área aproximada de uma fatia é (f(x)-g(x))\,dx; somando (integrando) essas fatias de a a b obtemos a área total. O Teorema Fundamental do Cálculo permite calcular essa soma como antiderivadas avaliadas em a e b.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso, com a=\tfrac{1}{2}, b=1, f(x)=2 e g(x)=\dfrac{1}{x}, temos