Fixe
e para cada
considere a função
. Para quais valores de
a área da região delimitada pelo gráfico
e o eixo
é máxima?
Passo 1
O enunciado fixa
e define, para cada
, a função
O que se pede: encontrar os valores de
que tornam máxima a área da região delimitada pelo gráfico de
e o eixo
.
Informações fornecidas e observações úteis (sem resolver ainda):
-
. - A função tem um fator multiplicativo
que depende só de e um fator polinomial que depende de . - A reta
-axis é . A região limitada entre o gráfico e o eixo ocorre onde ; os pontos onde são as possíveis fronteiras horizontais da região.
Passo 2
Determinar para um
fixo o intervalo em
onde
.
Explicação didática: o sinal de
é o produto de
(que é sempre positivo para
) e de
. Assim o sinal é o mesmo de
. A equação
tem raízes
. Portanto:
-
quando .
Logo a região entre o gráfico e o eixoonde está acima do eixo é o segmento em de até .
Passo 3
Escrever a área
como integral e calcular explicitamente.
A área (positiva) é
Como
é constante em relação a
, pode sair da integral:
Calcular a primitiva de
em
:
Avaliar entre
e
:
Assim
Resumo didático: a integral reduziu a área a uma função simples de
, porque a parte em
produziu um fator
que, multiplicado por
, deixou
multiplicando
.
Passo 4
Maximizar
para
.
Explicação didática das ferramentas usadas: para maximizar uma função diferenciável num intervalo aberto, calcula-se a derivada e procura-se pontos críticos onde a derivada é zero; depois verifica-se se é máximo (pela segunda derivada ou estudo de sinal).
Calcular a derivada. Seja
. Então
Usando a regra do produto e a derivada de
(que é
):
Resolver
. Como
e
para todo
, tem-se
Passo 5
Verificar que
dá máximo (teste da segunda derivada e comportamento nas extremidades).
Calcular
. Diferenciando
:
Avaliar em
:
portanto
é um ponto de máximo local. Além disso, examinar limites:
então o máximo local em
é também máximo global em
.
Passo 6
Calcular a área máxima correspondente (opcional, útil na prova).
Substituindo
em
:
Resposta
Área máxima