Fixe b>0 e para cada b considere a função f_{b}(x)=b^{-2} e^{-b}\left(b^{2}-x^{2}\right). Para quais valores de b a área da região delimitada pelo gráfico f_{b}(x) e o eixo x é máxima?

Passo 1

O enunciado fixa b>0 e define, para cada b, a função
f_{b}(x)=b^{-2}e^{-b}\bigl(b^{2}-x^{2}\bigr).
O que se pede: encontrar os valores de b que tornam máxima a área da região delimitada pelo gráfico de f_{b}(x) e o eixo x.
Informações fornecidas e observações úteis (sem resolver ainda):
  • b>0.
  • A função tem um fator multiplicativo b^{-2}e^{-b} que depende só de b e um fator polinomial \bigl(b^{2}-x^{2}\bigr) que depende de x.
  • A reta x-axis é y=0. A região limitada entre o gráfico e o eixo x ocorre onde f_{b}(x)\ge0; os pontos onde f_{b}(x)=0 são as possíveis fronteiras horizontais da região.

Passo 2

Determinar para um b fixo o intervalo em x onde f_{b}(x)\ge0.
Explicação didática: o sinal de f_{b}(x) é o produto de b^{-2}e^{-b} (que é sempre positivo para b>0) e de \bigl(b^{2}-x^{2}\bigr). Assim o sinal é o mesmo de \bigl(b^{2}-x^{2}\bigr). A equação b^{2}-x^{2}=0 tem raízes x=\pm b. Portanto:
  • \bigl(b^{2}-x^{2}\bigr)\ge0 quando |x|\le b.
    Logo a região entre o gráfico e o eixo x onde f_{b}(x) está acima do eixo é o segmento em x de -b até b.

Passo 3

Escrever a área A(b) como integral e calcular explicitamente.
A área (positiva) é
A(b)=\int_{-b}^{b} f_{b}(x)\,dx =\int_{-b}^{b} b^{-2}e^{-b}\bigl(b^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.
Como b^{-2}e^{-b} é constante em relação a x, pode sair da integral:
A(b)=b^{-2}e^{-b}\int_{-b}^{b}\bigl(b^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.
Calcular a primitiva de \bigl(b^{2}-x^{2}\bigr) em x:
\int\bigl(b^{2}-x^{2}\bigr)\,dx = b^{2}x-\frac{x^{3}}{3}.
Avaliar entre -b e b:
\left[b^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-b}^{b} = \left(b^{3}-\frac{b^{3}}{3}\right) - \left(-b^{3}+\frac{b^{3}}{3}\right) = \frac{2}{3}b^{3} -\left(-\frac{2}{3}b^{3}\right) = \frac{4}{3}b^{3}.
Assim
A(b)=b^{-2}e^{-b}\cdot\frac{4}{3}b^{3}=\frac{4}{3}\,b\,e^{-b}.
Resumo didático: a integral reduziu a área a uma função simples de b, porque a parte em x produziu um fator \propto b^{3} que, multiplicado por b^{-2}, deixou b multiplicando e^{-b}.

Passo 4

Maximizar A(b)=\dfrac{4}{3}\,b\,e^{-b} para b>0.
Explicação didática das ferramentas usadas: para maximizar uma função diferenciável num intervalo aberto, calcula-se a derivada e procura-se pontos críticos onde a derivada é zero; depois verifica-se se é máximo (pela segunda derivada ou estudo de sinal).
Calcular a derivada. Seja C=\dfrac{4}{3}. Então
A(b)=C\,b\,e^{-b}.
Usando a regra do produto e a derivada de e^{-b} (que é -e^{-b}):
A'(b)=C\bigl(1\cdot e^{-b} + b\cdot(-e^{-b})\bigr) = C\,e^{-b}(1-b).
Resolver A'(b)=0. Como C>0 e e^{-b}>0 para todo b, tem-se
1-b=0 \quad\Rightarrow\quad b=1.

Passo 5

Verificar que b=1 dá máximo (teste da segunda derivada e comportamento nas extremidades).
Calcular A''(b). Diferenciando A'(b)=C\,e^{-b}(1-b):
A''(b)=C\left(-e^{-b}(1-b)+e^{-b}(-1)\right) = C\,e^{-b}\bigl(-(1-b)-1\bigr) = C\,e^{-b}(b-2).
Avaliar em b=1:
A''(1)=C\,e^{-1}(1-2)=C\,e^{-1}(-1)<0,
portanto b=1 é um ponto de máximo local. Além disso, examinar limites:
\lim_{b\to0^{+}}A(b)=\lim_{b\to0^{+}}\frac{4}{3}b\,e^{-b}=0, \qquad \lim_{b\to+\infty}A(b)=0,
então o máximo local em b=1 é também máximo global em (0,\infty).

Passo 6

Calcular a área máxima correspondente (opcional, útil na prova).
Substituindo b=1 em A(b):
A(1)=\frac{4}{3}\cdot 1\cdot e^{-1}=\frac{4}{3e}.

Resposta

b=1
Área máxima =\dfrac{4}{3e}

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