Calcule a derivadas das funções:
f(x)=\int_{-\cos ^{2}(x)}^{\operatorname{sen}^{2}(x)} \ln \left|\cos \left(\pi \ln \left(e^{-1}\right)\right)\right| d t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{-\cos^{2}(x)}^{\operatorname{sen}^{2}(x)} \ln\left|\cos\left(\pi\ln\left(e^{-1}\right)\right)\right|\,dt
e pede a derivada f'(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável de integração é t.
  • Os limites da integral dependem de x: o limite inferior é a(x)=-\cos^{2}(x) e o superior é b(x)=\operatorname{sen}^{2}(x).
  • O integrando é \ln\left|\cos\left(\pi\ln\left(e^{-1}\right)\right)\right|. Observe que esse integrando não contém t; é uma expressão que depende apenas de constantes (ou seja, é constante em relação a t).
    O objetivo é calcular f'(x).

Passo 2

Primeiro fato útil (mini-aula): se uma função é constante em t, digamos c, então a integral em t entre limites a(x) e b(x) é simplesmente o produto dessa constante pela medida do intervalo:
\int_{a(x)}^{b(x)} c\,dt = c\bigl(b(x)-a(x)\bigr).
Justificativa curta: a primitiva de c em t é ct, logo avaliando entre a(x) e b(x) c\,b(x)-c\,a(x)=c(b-a).
Aplicando isso ao nosso caso, definindo
C=\ln\left|\cos\left(\pi\ln\left(e^{-1}\right)\right)\right|,
temos
f(x)=C\bigl(\operatorname{sen}^{2}(x)-(-\cos^{2}(x))\bigr)=C\bigl(\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)\bigr).

Passo 3

Agora uso a identidade trigonométrica básica (mini-aula): para todo x,
\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Portanto
f(x)=C\cdot 1 = C.
Ou seja, f(x) é uma constante (independente de x), igual a C.

Passo 4

Precisamos achar o valor numérico de C. Vou simplificar passo a passo (mini-aula sobre logaritmo e paridade do cosseno):
  1. \ln\left(e^{-1}\right)=-1, porque \ln(e^{k})=k para todo k.
  2. Substituindo, \cos\bigl(\pi\ln(e^{-1})\bigr)=\cos(\pi\cdot(-1))=\cos(-\pi).
  3. O cosseno é uma função par, então \cos(-\pi)=\cos(\pi). E \cos(\pi)=-1.
  4. Portanto \cos\bigl(\pi\ln(e^{-1})\bigr)=-1. O valor absoluto é |-1|=1.
  5. Então
C=\ln|{-1}|=\ln(1)=0.

Passo 5

Como C=0, concluímos que
f(x)=0\quad\text{para todo }x.
Mini-aula final: a derivada de uma função constante é zero. Portanto
f'(x)=0.
Observação alternativa (opcional): aplicando a regra de diferenciação de uma integral com limites dependentes de x (regra de Leibniz),
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}g(t)\,dt = g(b(x))b'(x)-g(a(x))a'(x),
no nosso caso g(t)=C é constante, então a derivada seria C\bigl(b'(x)-a'(x)\bigr). Como C=0, isso dá novamente 0.

Resposta

f'(x)=0

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