Calcule a área (A) da região delimitada pelos gráficos das funções
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área
da região delimitada pelos dois gráficos dados. As informações fornecidas são:
e
Não há outras condições explícitas; portanto queremos a área da região comum limitada por essas duas curvas.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção das duas curvas — isso nos dá os limites da região. Igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo passo a passo:
Portanto
Esses são os valores de
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Precisamos saber qual curva fica à direita e qual à esquerda entre
e
. Para um
qualquer no intervalo, compare:
Calcule a diferença:
No intervalo
temos
, logo
. Isso mostra que
para todos
entre
e
.
Passo 4
Agora a fórmula que usamos: quando duas curvas são dadas como
(curva da direita) e
(curva da esquerda) e se intersectam em
e
, a área entre elas é
Aqui
é a coordenada
da fronteira direita,
é a coordenada
da fronteira esquerda, e
indica que estamos somando fatias verticais (paralelas ao eixo
) ao longo de
.
Passo 5
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, com
e
, e substituindo
e
:
Simplificando o integrando:
logo
Passo 6
Calcule a integral passo a passo. Uma primitiva de
é
Avalie essa primitiva de
a
:
Calcule em
:
Calcule em
:
Agora subtraia:
Passo 7
Observação didática rápida (útil para prova): o integrando
é uma função par (mesmo em
), então poderíamos ter usado simetria e escrito
o cálculo fica um pouco mais rápido e dá o mesmo resultado
. Vai bem na prova quando quiser economizar tempo.