Calcule a área (A) da região delimitada pelos gráficos das funções x=y^{2}-2 \mathrm{e} x=6-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área A da região delimitada pelos dois gráficos dados. As informações fornecidas são:
x = y^{2} - 2
e
x = 6 - y^{2}.
Não há outras condições explícitas; portanto queremos a área da região comum limitada por essas duas curvas.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção das duas curvas — isso nos dá os limites da região. Igualamos as duas expressões de x:
y^{2}-2 = 6 - y^{2}.
Resolvendo passo a passo:
y^{2} + y^{2} = 6 + 2 \Rightarrow 2y^{2} = 8 \Rightarrow y^{2} = 4.
Portanto
y = \pm 2.
Esses são os valores de y onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Precisamos saber qual curva fica à direita e qual à esquerda entre y=-2 e y=2. Para um y qualquer no intervalo, compare:
x_{\text{1}} = y^{2}-2,\qquad x_{\text{2}} = 6 - y^{2}.
Calcule a diferença:
x_{\text{2}} - x_{\text{1}} = (6 - y^{2}) - (y^{2}-2) = 8 - 2y^{2}.
No intervalo -2\le y\le 2 temos y^{2}\le 4, logo 8-2y^{2}\ge 0. Isso mostra que
x_{\text{direita}} = 6 - y^{2},\qquad x_{\text{esquerda}} = y^{2}-2
para todos y entre -2 e 2.

Passo 4

Agora a fórmula que usamos: quando duas curvas são dadas como x=f(y) (curva da direita) e x=g(y) (curva da esquerda) e se intersectam em y=a e y=b, a área entre elas é
A = \int_{a}^{b} \big(f(y) - g(y)\big)\,dy.
Aqui f(y) é a coordenada x da fronteira direita, g(y) é a coordenada x da fronteira esquerda, e dy indica que estamos somando fatias verticais (paralelas ao eixo x) ao longo de y.

Passo 5

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, com a=-2 e b=2, e substituindo f e g:
A = \int_{-2}^{2} \big((6 - y^{2}) - (y^{2}-2)\big)\,dy.
Simplificando o integrando:
(6 - y^{2}) - (y^{2}-2) = 8 - 2y^{2},
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A = \int_{-2}^{2} (8 - 2y^{2})\,dy.

Passo 6

Calcule a integral passo a passo. Uma primitiva de 8 - 2y^{2} é
\int (8 - 2y^{2})\,dy = 8y - \frac{2}{3}y^{3} + C.
Avalie essa primitiva de -2 a 2:
A = \left[8y - \frac{2}{3}y^{3}\right]_{-2}^{2}.
Calcule em y=2:
8\cdot 2 - \frac{2}{3}\cdot 2^{3} = 16 - \frac{2}{3}\cdot 8 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.
Calcule em y=-2:
8\cdot(-2) - \frac{2}{3}\cdot(-2)^{3} = -16 - \frac{2}{3}\cdot(-8) = -16 + \frac{16}{3} = -\frac{48}{3} + \frac{16}{3} = -\frac{32}{3}.
Agora subtraia:
A = \frac{32}{3} - \left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{64}{3}.

Passo 7

Observação didática rápida (útil para prova): o integrando 8-2y^{2} é uma função par (mesmo em y), então poderíamos ter usado simetria e escrito
A = 2\int_{0}^{2} (8-2y^{2})\,dy,
o cálculo fica um pouco mais rápido e dá o mesmo resultado \frac{64}{3}. Vai bem na prova quando quiser economizar tempo.

Resposta

\displaystyle A=\frac{64}{3}

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