Verifique que a edo
é exata e resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
e pede duas coisas: verificar que ela é exata e resolver a EDO.
Informações relevantes que o enunciado fornece (vou escrever cada uma em notação matemática):
Informações relevantes que o enunciado fornece (vou escrever cada uma em notação matemática):
Não começo a resolver aqui; só organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
O que significa “exata”? Vou explicar direitinho: uma EDO da forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática (quando
e
têm derivadas contínuas num domínio simples conexo) é verificar
Aqui vou aplicar isso — lembre que ao calcular
trato
como constante, e ao calcular
trato
como constante.
Passo 3
Calculo
. Temos
. Derivando em relação a
(com
fixo):
-
porque é constante em relação a . -
. -
.
Logo
Passo 4
Calculo
. Temos
. Derivando em relação a
(com
fixo):
-
porque é constante em relação a . -
. -
.
Logo
Passo 5
Comparando os dois resultados:
Como são iguais (a ordem da soma não importa), a condição de exatidão está satisfeita. Além disso,
e
são combinações de polinômios, seno e cosseno, portanto têm derivadas contínuas em todo
, que é um domínio simplesmente conexo — então existe uma função potencial
.
Passo 6
Agora vou encontrar
. Como
, integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço as integrais termo a termo:
-
(pois é constante). -
. -
.
Incluo uma função “constante” de integração que pode depender de
, chamo de
. Assim
Passo 7
Agora uso a condição
. Primeiro computo
a partir da expressão obtida (aqui
é constante ao derivar em relação a
):
-
. -
. -
.
Portanto
Como
deve ser igual a
, igualo:
Cancelam
e
dos dois lados, sobrando
Passo 8
Integro
para obter
:
onde
é uma constante. Assim a função potencial completa é
Passo 9
A solução geral implícita da EDO é dada por
constante. Posso absorver
numa constante geral
. Portanto a família de curvas solução é
onde
é uma constante arbitrária. (Se quiser, dá para verificar rapidamente diferenciando
e confirmando que recuperamos
e
.)