Verifique que a edo (2 x y+\operatorname{sen} y+1) d x+\left(x \cos y+x^{2}+y^{2}\right) d y=0 é exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
(2 x y+\operatorname{sen} y+1)\,dx+\left(x \cos y+x^{2}+y^{2}\right)\,dy=0
e pede duas coisas: verificar que ela é exata e resolver a EDO.
Informações relevantes que o enunciado fornece (vou escrever cada uma em notação matemática):
P(x,y)=2xy+\operatorname{sen}y+1, \qquad Q(x,y)=x\cos y+x^{2}+y^{2}.
Não começo a resolver aqui; só organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

O que significa “exata”? Vou explicar direitinho: uma EDO da forma
P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x,y).
Uma condição prática (quando P e Q têm derivadas contínuas num domínio simples conexo) é verificar
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui vou aplicar isso — lembre que ao calcular \partial P/\partial y trato x como constante, e ao calcular \partial Q/\partial x trato y como constante.

Passo 3

Calculo \partial P/\partial y. Temos P(x,y)=2xy+\operatorname{sen}y+1. Derivando em relação a y (com x fixo):
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) + \frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen}y) + \frac{\partial}{\partial y}(1).
  • \frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x porque 2x é constante em relação a y.
  • \frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen}y)=\cos y.
  • \frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
Logo
\frac{\partial P}{\partial y}=2x+\cos y.

Passo 4

Calculo \partial Q/\partial x. Temos Q(x,y)=x\cos y+x^{2}+y^{2}. Derivando em relação a x (com y fixo):
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x\cos y) + \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}).
  • \frac{\partial}{\partial x}(x\cos y)=\cos y porque \cos y é constante em relação a x.
  • \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}= \cos y + 2x.

Passo 5

Comparando os dois resultados:
\frac{\partial P}{\partial y}=2x+\cos y \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\cos y+2x.
Como são iguais (a ordem da soma não importa), a condição de exatidão está satisfeita. Além disso, P e Q são combinações de polinômios, seno e cosseno, portanto têm derivadas contínuas em todo \mathbb{R}^2, que é um domínio simplesmente conexo — então existe uma função potencial \Phi(x,y).

Passo 6

Agora vou encontrar \Phi(x,y). Como \Phi_x=P, integro P em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (2xy+\operatorname{sen}y+1)\,dx.
Faço as integrais termo a termo:
  • \int 2xy\,dx = x^{2}y (pois y é constante).
  • \int \operatorname{sen}y\,dx = x\operatorname{sen}y.
  • \int 1\,dx = x.
Incluo uma função “constante” de integração que pode depender de y, chamo de h(y). Assim
\Phi(x,y)=x^{2}y + x\operatorname{sen}y + x + h(y).

Passo 7

Agora uso a condição \Phi_y=Q. Primeiro computo \Phi_y a partir da expressão obtida (aqui x é constante ao derivar em relação a y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) + \frac{\partial}{\partial y}(x\operatorname{sen}y) + \frac{\partial}{\partial y}(x) + h'(y).
  • \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.
  • \frac{\partial}{\partial y}(x\operatorname{sen}y)=x\cos y.
  • \frac{\partial}{\partial y}(x)=0.
    Portanto
\Phi_y = x^{2} + x\cos y + h'(y).
Como \Phi_y deve ser igual a Q(x,y)=x\cos y+x^{2}+y^{2}, igualo:
x^{2}+x\cos y + h'(y) = x\cos y + x^{2} + y^{2}.
Cancelam x^{2} e x\cos y dos dois lados, sobrando
h'(y)=y^{2}.

Passo 8

Integro h'(y)=y^{2} para obter h(y):
h(y)=\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C_0,
onde C_0 é uma constante. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x^{2}y + x\operatorname{sen}y + x + \frac{y^{3}}{3} + C_0.

Passo 9

A solução geral implícita da EDO é dada por \Phi(x,y)= constante. Posso absorver C_0 numa constante geral C. Portanto a família de curvas solução é
x^{2}y + x\operatorname{sen}y + x + \frac{y^{3}}{3} = C,
onde C é uma constante arbitrária. (Se quiser, dá para verificar rapidamente diferenciando \Phi e confirmando que recuperamos P e Q.)

Resposta

x^{2}y + x\operatorname{sen}y + x + \dfrac{y^{3}}{3} = C

Exercícios relacionados