Encontre a solução geral da equação de Bernoulli
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação envolve
(função de ) e sua derivada . - Do lado direito aparece
multiplicando (ou seja, ). - Quer-se a solução geral
(constante(s) arbitrária(s) incluída(s)).
Passo 2
Vamos reorganizar a forma da equação para ver a estrutura algébrica, sem resolver ainda:
Note que temos um termo do tipo
com
no lado direito. Há uma substituição útil nessa situação: se tivermos uma equação da forma
a substituição
transforma a equação numa equação linear em
. Aqui
, portanto calculamos
logo fazemos a substituição
Agora vou explicar por que essa substituição ajuda: se
, então
é facilmente relacionado a
e
por derivação, e assim podemos eliminar a não linearidade.
Passo 3
Calculemos
em função de
e
. Como
,
Queremos escrever
usando a equação original. Da equação original temos
Multiplicando ambos os lados por
(isso é permitido desde que
; mais adiante falamos sobre isso),
Isolando
,
Agora substituímos em
:
Lembrando que
, obtemos uma equação linear em
:
Passo 4
Resolvemos a equação linear de primeira ordem
Vou usar o método do fator integrante. Para uma equação da forma
, o fator integrante é
. Aqui
(constante), então
Multiplicamos a equação inteira por
:
O lado direito simplifica para
. O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Portanto temos
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é a constante de integração (constante real arbitrária). Isolando
,
Passo 5
Voltamos à variável original
. Lembre que fizemos
. Então
Tomando raiz quadrada (duas possibilidades de sinal) obtemos a solução geral
Podemos simplificar a raiz combinando
:
Observações importantes (úteis na prova):
- A solução exige
no domínio real para que a raiz seja real; a constante determina o intervalo onde a solução é definida. -
não é solução da equação original porque o termo faria o lado direito não definido. Por isso não incluímos . - A constante
é arbitrária e representa a família de soluções gerais. O sinal corresponde às duas famílias (positiva e negativa) compatíveis com a equação após o processo de tomar raiz.