Encontre a solução geral da equação de Bernoulli y^{\prime}-3 y=e^{6 x} y^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' - 3y = e^{6x} y^{-1}.
Informações dadas:
  • A equação envolve y (função de x) e sua derivada y'.
  • Do lado direito aparece e^{6x} multiplicando y^{-1} (ou seja, 1/y).
  • Quer-se a solução geral y(x) (constante(s) arbitrária(s) incluída(s)).

Passo 2

Vamos reorganizar a forma da equação para ver a estrutura algébrica, sem resolver ainda:
y' + (-3)\,y = e^{6x}\,y^{-1}.
Note que temos um termo do tipo y^n com n=-1 no lado direito. Há uma substituição útil nessa situação: se tivermos uma equação da forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
a substituição
z = y^{1-n}
transforma a equação numa equação linear em z. Aqui n=-1, portanto calculamos
1-n = 1-(-1)=2,
logo fazemos a substituição
z = y^{2}.
Agora vou explicar por que essa substituição ajuda: se z=y^{2}, então z' é facilmente relacionado a y e y' por derivação, e assim podemos eliminar a não linearidade.

Passo 3

Calculemos z' em função de y e y'. Como z=y^{2},
z' = 2y\,y'.
Queremos escrever z' usando a equação original. Da equação original temos
y' - 3y = e^{6x} y^{-1}.
Multiplicando ambos os lados por y (isso é permitido desde que y\neq 0; mais adiante falamos sobre isso),
y\,y' - 3y^{2} = e^{6x}.
Isolando y\,y',
y\,y' = 3y^{2} + e^{6x}.
Agora substituímos em z' = 2y\,y':
z' = 2(3y^{2} + e^{6x}) = 6y^{2} + 2e^{6x}.
Lembrando que y^{2}=z, obtemos uma equação linear em z:
z' - 6z = 2e^{6x}.

Passo 4

Resolvemos a equação linear de primeira ordem
z' - 6z = 2e^{6x}.
Vou usar o método do fator integrante. Para uma equação da forma z' + a(x) z = b(x), o fator integrante é \mu(x)=e^{\int a(x)\,dx}. Aqui a(x)=-6 (constante), então
\mu(x)=e^{\int -6\,dx}=e^{-6x}.
Multiplicamos a equação inteira por \mu(x):
e^{-6x} z' - 6 e^{-6x} z = 2 e^{-6x} e^{6x}.
O lado direito simplifica para 2. O lado esquerdo é a derivada de (e^{-6x} z), pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-6x} z\bigr) = e^{-6x} z' + (e^{-6x})' z = e^{-6x} z' -6 e^{-6x} z.
Portanto temos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-6x} z\bigr) = 2.
Integrando ambos os lados em relação a x,
e^{-6x} z = \int 2\,dx = 2x + C,
onde C é a constante de integração (constante real arbitrária). Isolando z,
z = e^{6x}(2x + C).

Passo 5

Voltamos à variável original y. Lembre que fizemos z=y^{2}. Então
y^{2} = e^{6x}(2x + C).
Tomando raiz quadrada (duas possibilidades de sinal) obtemos a solução geral
y(x) = \pm \sqrt{e^{6x}(2x + C)}.
Podemos simplificar a raiz combinando e^{6x} = (e^{3x})^{2}:
y(x) = \pm e^{3x}\sqrt{2x + C}.
Observações importantes (úteis na prova):
  • A solução exige 2x + C \ge 0 no domínio real para que a raiz seja real; a constante C determina o intervalo onde a solução é definida.
  • y=0 não é solução da equação original porque o termo y^{-1} faria o lado direito não definido. Por isso não incluímos y\equiv 0.
  • A constante C é arbitrária e representa a família de soluções gerais. O sinal \pm corresponde às duas famílias (positiva e negativa) compatíveis com a equação após o processo de tomar raiz.

Resposta

y(x)=\pm e^{3x}\sqrt{2x + C}

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