Calcule a área da região R determinada pela curva dada, para:
R: y=x^{3}-x, para x \in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y=x^3-x e o eixo x no intervalo x\in[-1,1]. Vamos usar o conceito de área sob a curva, que é dado por \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx, tomando o valor absoluto sempre que a função ficar abaixo do eixo.

Passo 2

Primeiro, identificamos onde a curva cruza o eixo x. Resolve-se
x^3 - x = 0
x\,(x^2 - 1)=0
logo as raízes são x=-1, x=0 e x=1. Isso separa o intervalo em duas partes: em [-1,0] temos y\ge0 e em [0,1] temos y\le0.

Passo 3

A área total é a soma das áreas positiva e negativa, em módulo. Assim,
A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx \;-\;\int_{0}^{1} (x^3 - x)\,dx
onde subtraímos a integral de 0 a 1 porque ali x^3-x é negativa.

Passo 4

Calculamos uma primitiva de f(x)=x^3-x:
F(x) = \int (x^3 - x)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}.

Passo 5

Avaliaremos cada integral usando F(x):
\int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx = F(0) - F(-1) = 0 - \Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\Bigr) = \tfrac{1}{4},
\int_{0}^{1} (x^3 - x)\,dx = F(1) - F(0) = \Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\Bigr) - 0 = -\tfrac{1}{4}.
Portanto,
A = \frac{1}{4} - \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) = \frac{1}{2}.

Resposta

A área da região R é \tfrac{1}{2}.

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