Calcule a área da região R determinada pela curva dada, para:
R: y=\ln (x), para x \in[1, e].

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela curva
y = \ln(x)
entre as retas verticais x=1 e x=e e pelo eixo x (isto é, y=0). O conteúdo usado será o cálculo de área sob a curva via integral definida.

Passo 2

Para encontrar a área sob a curva y=\ln(x) de x=1 até x=e, montamos a integral
\text{Área} = \int_{1}^{e} \ln(x)\,dx.Á

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int \ln(x)\,dx, usamos integração por partes. Escolhemos
u = \ln(x),\quad dv = dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = x.
Logo,
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida:
\int_{1}^{e} \ln(x)\,dx = \bigl[x\ln(x) - x\bigr]_{1}^{e} = \bigl(e\cdot 1 - e\bigr) - \bigl(1\cdot 0 - 1\bigr) = (e - e) - (0 - 1) = 1.

Resposta

A área da região R é 1.

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