Calcule a área da região R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1, x^{2}+y^{2} \geq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da região
\displaystyle R=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+(y-1)^2\le1,\;x^2+y^2\ge1\}.
Perceba que isso é o disco de raio 1 centrado em (0,1) limitado pela parte que fica fora do disco de raio 1 centrado em (0,0).

Passo 2

Chamemos
\displaystyle D_1=\{(x,y)\mid x^2+(y-1)^2\le1\}
e
\displaystyle D_0=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}.
Então
\displaystyle R=D_1\cap(D_0)^c,
e a área de R é
\text{área}(R)=\text{área}(D_1)-\text{área}(D_1\cap D_0).ááá

Passo 3

O termo \displaystyle D_1\cap D_0 é a interseção de dois círculos de mesmo raio R=1 com distância entre centros d=1. A área dessa interseção vale
A_{\rm ov} =2R^2\operatorname{arccos}\Bigl(\frac{d}{2R}\Bigr) -\frac{d}{2}\sqrt{4R^2-d^2}.

Passo 4

Substituindo R=1 e d=1 temos
A_{\rm ov} =2\operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac12\Bigr) -\tfrac12\sqrt{4-1} =2\cdot\frac{\pi}{3} -\frac12\sqrt{3} =\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como \text{área}(D_1)=\piá, concluímos
\text{área}(R) =\pi-\biggl(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr) =\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.á

Resposta

\text{área}(R) =\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.á

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