Calcule o volume do sólido interior à esfera z^{2}+r^{2}=16 e ao cilindro r=4 \cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em coordenadas cilíndricas limitado pela esfera
z^{2}+r^{2}=16
e pelo cilindro
r=4\cos\theta.
O conteúdo aqui é usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e integrar o elemento de volume dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Descrevemos a região em cilindricas:
  • A condição r\le4\cos\theta exige \cos\theta\ge0, logo -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.
  • Para cada (r,\theta), o z varia entre as duas faces da esfera:
-\sqrt{16-r^{2}}\;\le z\le\;\sqrt{16-r^{2}}.
Portanto o volume é
V=\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{4\cos\theta} \int_{z=-\sqrt{16-r^{2}}}^{\sqrt{16-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{-\sqrt{16-r^2}}^{\sqrt{16-r^2}}dz =2\,\sqrt{16-r^2}.
Assim
V =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{4\cos\theta} 2\,r\,\sqrt{16-r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos
I(\theta) =\int_{0}^{4\cos\theta}2\,r\sqrt{16-r^{2}}\;dr.
Use u=16-r^{2}, du=-2r\,dr, obtendo
I(\theta) =\int_{u=16}^{\,16\sin^{2}\theta} -\sqrt{u}\,du =\int_{16\sin^{2}\theta}^{16}\sqrt{u}\,du =\frac{2}{3}\Bigl[16^{\tfrac32}-(16\sin^{2}\theta)^{\tfrac32}\Bigr].
Como 16^{3/2}=64 e (16\sin^{2}\theta)^{3/2}=64\,|\sin^{3}\theta|, vem
I(\theta) =\frac{2}{3}\bigl(64-64\,|\sin^{3}\theta|\bigr) =\frac{128}{3}\bigl(1-|\sin^{3}\theta|\bigr).
Logo
V =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} I(\theta)\,d\theta =\frac{128}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \bigl(1-|\sin^{3}\theta|\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Quebramos a integral usando simetria:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta=\pi, \quad \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin^{3}\theta|\,d\theta =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}\theta\,d\theta =2\cdot\frac{2}{3} =\frac{4}{3}.
Portanto
V =\frac{128}{3}\Bigl(\pi-\tfrac{4}{3}\Bigr) =\frac{128\pi}{3}-\frac{512}{9} =\frac{128}{9}\bigl(3\pi-4\bigr).

Resposta

V=\frac{128}{9}\bigl(3\pi-4\bigr).

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