Calcule a área da região
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
Este é um anel (raios
e
) recortado pela reta
. Vamos usar coordenadas polares para descrever e calcular a área.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e o elemento de área é
. As condições se traduzem em
Além disso, como
, só interessa
.
Passo 3
Da desigualdade
vem
. Para cada
o limite inferior de
é
e o superior é
, desde que
.
A condição equivale a
, isto é
A condição
Dentro deste intervalo distinguimos:
- Se
(ou seja ), então e assim . - Se
(ou seja ), então .
Passo 4
A área é
Separamos em três trechos de
:
Em cada integral interior
Logo, usando a simetria entre
e
, obtemos
Note que
, então a primeira integral vale
Na segunda,
e
Portanto
Passo 5
Somando as duas partes: