Calcule a área da regiāo R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 2 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 1\right\}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a área da região R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 2 \le x^{2}+y^{2} \le 4,\; y\ge 1\}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A condição 2 \le x^{2}+y^{2} \le 4 descreve um anel (anel entre duas circunferências centradas na origem) com raios \sqrt{2} e 2. Ou seja, r (distância à origem) satisfaz \sqrt{2}\le r\le 2.
  • A condição y\ge 1 corta esse anel pela metade superior deslocada; geometricamente é a parte do anel que fica acima da reta horizontal y=1.
  • A tarefa é a área dessa interseção: o pedaço do anel que está acima de y=1.

Passo 2

Escolha de coordenadas e transformação (aulas rápidas sobre polares):
  • Para regiões circulares é muito mais prático usar coordenadas polares. Em polares definimos x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x-positivo.
  • A área elementar em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta. Explico por quê: num retângulo pequeno em (r,\theta) as dimensões são dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot r\,d\theta.
  • Agora traduzimos as condições de R para polares:
    • 2 \le x^2+y^2 \le 4 vira 2 \le r^2 \le 4, isto é \sqrt{2}\le r\le 2.
    • y\ge 1 vira r\sin\theta \ge 1, ou seja r \ge \dfrac{1}{\sin\theta}, desde que \sin\theta>0.
  • Para haver pontos com r\le 2 e r\ge \dfrac{1}{\sin\theta} é necessário que \dfrac{1}{\sin\theta}\le 2, isto é \sin\theta \ge \dfrac{1}{2}.
    • A equação \sin\theta=\dfrac{1}{2} tem soluções \theta=\dfrac{\pi}{6} e \theta=\dfrac{5\pi}{6} no intervalo [0,\pi].
    • Como queremos \sin\theta>0 (caso contrário r\sin\theta\ge1 não é possível com r\ge0), os ângulos úteis estarão entre \theta=\dfrac{\pi}{6} e \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
  • Para um dado \theta nesta faixa, o limite inferior de r é o máximo entre \sqrt{2} (o anel) e \dfrac{1}{\sin\theta} (a restrição y\ge1). Precisamos ver onde cada um domina:
    • Resolver \dfrac{1}{\sin\theta} \le \sqrt{2} equivale a \sin\theta \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    • \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} corresponde a \theta=\dfrac{\pi}{4} e \theta=\dfrac{3\pi}{4}.
  • Conclusão sobre os intervalos angulares:
    • Para \theta\in\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right] temos \dfrac{1}{\sin\theta}\ge \sqrt{2}, então o limite inferior de r é r=\dfrac{1}{\sin\theta}.
    • Para \theta\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right] temos \dfrac{1}{\sin\theta}\le \sqrt{2}, então o limite inferior de r é r=\sqrt{2}.
    • Para \theta\in\left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6}\right] novamente \dfrac{1}{\sin\theta}\ge \sqrt{2}, então o limite inferior é r=\dfrac{1}{\sin\theta}.
  • O limite superior de r é sempre 2 (pela condição r\le 2).

Passo 3

Montagem da integral de área (passo a passo):
  • A área A de R em coordenadas polares é A=\iint_{R} dA = \iint_{R} r\,dr\,d\theta.
  • Pela divisão angular obtida, separamos em três integrais: A = \int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_{r=1/\sin\theta}^{2} r\,dr\,d\theta + \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_{r=\sqrt{2}}^{2} r\,dr\,d\theta + \int_{3\pi/4}^{5\pi/6}\int_{r=1/\sin\theta}^{2} r\,dr\,d\theta.
  • Observação: a região é simétrica em torno de \theta=\dfrac{\pi}{2}, então a primeira e a terceira integrais são iguais. Podemos usar isso depois para simplificar cálculos.

Passo 4

Cálculo das integrais internas e simplificação:
  • Integração em r: \displaystyle \int r\,dr = \frac{1}{2}r^2. Vou aplicar isso nas três parcelas.
  • Segunda integral (a do meio), que é a mais simples: I_2=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_{\sqrt{2}}^{2} r\,dr\,d\theta =\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \left[\frac{1}{2}r^2\right]_{r=\sqrt{2}}^{r=2} d\theta =\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{1}{2}\big(4-2\big)\,d\theta =\int_{\pi/4}^{3\pi/4} 1\,d\theta =\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
  • Primeira integral (igual à terceira pela simetria). Calculemos uma e depois dobramos: I_1=\int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_{1/\sin\theta}^{2} r\,dr\,d\theta =\int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{1}{2}\Big(4-\frac{1}{\sin^2\theta}\Big)\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/4}\Big(4-\csc^2\theta\Big)\,d\theta.
    • Agora integramos em \theta. Lembrando que \displaystyle\frac{d}{d\theta}\cot\theta = -\csc^2\theta, logo \displaystyle\int \csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta.
    • Portanto \int\Big(4-\csc^2\theta\Big)\,d\theta = 4\theta + \cot\theta + C.
    • Avaliando os limites: I_1=\frac{1}{2}\Big[4\theta+\cot\theta\Big]_{\theta=\pi/6}^{\theta=\pi/4} =\frac{1}{2}\Big(\big(4\cdot\frac{\pi}{4}+\cot\frac{\pi}{4}\big)-\big(4\cdot\frac{\pi}{6}+\cot\frac{\pi}{6}\big)\Big).
    • Calculando os valores conhecidos:
      \cot\frac{\pi}{4}=1, \cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}. Assim I_1=\frac{1}{2}\Big(\pi+1 - \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\Big) =\frac{1}{2}\Big(\frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}\Big) =\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}.
    • Pela simetria, a terceira integral vale o mesmo I_1. Logo a soma da primeira e terceira é 2I_1, que é 2I_1 = \frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}.

Passo 5

Somando todas as parcelas e resultado final:
  • A área total é A = ( \text{primeira} + \text{terceira} ) + \text{segunda} = \Big(\frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}\Big) + \frac{\pi}{2}.
  • Somando os termos em \pi: \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.
  • Portanto a área simplificada é A=\frac{5\pi}{6} + 1 - \sqrt{3}.
  • (Checagem numérica rápida: \dfrac{5\pi}{6}\approx 2{,}618, \sqrt{3}\approx 1{,}732, então A\approx 2{,}618+1-1{,}732\approx 1{,}886, um número razoável para a porção do anel acima de y=1.)

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 1 - \sqrt{3}

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