Calcule a área da regiāo
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a área da região
.
Informações dadas e observações iniciais:
- A condição
descreve um anel (anel entre duas circunferências centradas na origem) com raios e . Ou seja, (distância à origem) satisfaz . - A condição
corta esse anel pela metade superior deslocada; geometricamente é a parte do anel que fica acima da reta horizontal . - A tarefa é a área dessa interseção: o pedaço do anel que está acima de
.
Passo 2
Escolha de coordenadas e transformação (aulas rápidas sobre polares):
- Para regiões circulares é muito mais prático usar coordenadas polares. Em polares definimos
onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo -positivo. - A área elementar em coordenadas polares é
. Explico por quê: num retângulo pequeno em as dimensões são e , então a área é . - Agora traduzimos as condições de
para polares: -
vira , isto é . -
vira , ou seja , desde que .
-
- Para haver pontos com
e é necessário que , isto é . - A equação
tem soluções e no intervalo . - Como queremos
(caso contrário não é possível com ), os ângulos úteis estarão entre e .
- A equação
- Para um dado
nesta faixa, o limite inferior de é o máximo entre (o anel) e (a restrição ). Precisamos ver onde cada um domina: - Resolver
equivale a . -
corresponde a e .
- Resolver
- Conclusão sobre os intervalos angulares:
- Para
temos , então o limite inferior de é . - Para
temos , então o limite inferior de é . - Para
novamente , então o limite inferior é .
- Para
- O limite superior de
é sempre (pela condição ).
Passo 3
Montagem da integral de área (passo a passo):
- A área
de em coordenadas polares é - Pela divisão angular obtida, separamos em três integrais:
- Observação: a região é simétrica em torno de
, então a primeira e a terceira integrais são iguais. Podemos usar isso depois para simplificar cálculos.
Passo 4
Cálculo das integrais internas e simplificação:
- Integração em
: . Vou aplicar isso nas três parcelas. - Segunda integral (a do meio), que é a mais simples:
- Primeira integral (igual à terceira pela simetria). Calculemos uma e depois dobramos:
- Agora integramos em
. Lembrando que , logo . - Portanto
- Avaliando os limites:
- Calculando os valores conhecidos:
, . Assim - Pela simetria, a terceira integral vale o mesmo
. Logo a soma da primeira e terceira é , que é
- Agora integramos em
Passo 5
Somando todas as parcelas e resultado final:
- A área total é
- Somando os termos em
: - Portanto a área simplificada é
- (Checagem numérica rápida:
, , então , um número razoável para a porção do anel acima de .)