Calcule as integrais dos exercícios 13. e 14. pela inversão da ordem de integração.
\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \operatorname{sen} y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por inversão da ordem de integração. A integral dada é
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}\sin\big(y^{3}\big)\,dy\,dx.
Informações que o enunciado fornece:
  • A função integranda é \sin\big(y^{3}\big).
  • A variável externa x varia de 0 até 4.
  • Para cada x, a variável interna y varia de y=\sqrt{x} até y=2.
    A tarefa: trocar a ordem de integração (integrar primeiro em x e depois em y) e calcular o valor da integral.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano (x,y). A condição das variáveis define
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 4,\\ \sqrt{x}\le y\le 2\}.
Descrevendo as curvas que limitam R:
  • y=\sqrt{x} é a parábola que pode ser reescrita como x=y^{2}.
  • y=2 é uma reta horizontal.
  • x=0 é o eixo vertical à esquerda.
    Note que a parábola e a reta se cruzam em y=2 quando x=y^{2}=4. Portanto a região é o conjunto de pontos entre a parábola x=y^{2} (à direita) e o eixo x=0 (à esquerda), com y entre 0 e 2.

Passo 3

Determinar os novos limites para y. Observando a região R, o menor valor de y ocorre quando x=0, dando y=\sqrt{0}=0. O maior valor de y vem do limite superior dado, y=2. Logo
0\le y\le 2.

Passo 4

Para um y fixo entre 0 e 2, quais valores x pode assumir dentro de R? A condição \sqrt{x}\le y é equivalente a x\le y^{2} (e lembrando sempre x\ge 0). Assim, para cada y em [0,2] temos
0\le x\le y^{2}.

Passo 5

Escrevendo a integral com a ordem invertida:
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}\sin\big(y^{3}\big)\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{y^{2}}\sin\big(y^{3}\big)\,dx\,dy.
Repare que \sin\big(y^{3}\big) não depende de x, então a integral interna em x é simples:
\int_{0}^{y^{2}}\sin\big(y^{3}\big)\,dx = \bigg[ x\sin\big(y^{3}\big)\bigg]_{x=0}^{x=y^{2}} = y^{2}\sin\big(y^{3}\big).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2} y^{2}\sin\big(y^{3}\big)\,dy.

Passo 6

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{2} y^{2}\sin\big(y^{3}\big)\,dy usamos a substituição clássica para integrais do tipo y^{n}\,f(y^{m}). Seja
u = y^{3}.
Então
du = 3y^{2}\,dy\quad\Rightarrow\quad y^{2}\,dy = \frac{du}{3}.
Mudança dos limites: quando y=0 temos u=0^{3}=0; quando y=2 temos u=2^{3}=8. Substituindo na integral:
\int_{0}^{2} y^{2}\sin\big(y^{3}\big)\,dy = \int_{u=0}^{u=8} \sin(u)\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{8}\sin(u)\,du.

Passo 7

Calcule a integral de \sin(u):
\int_{0}^{8}\sin(u)\,du = \big[-\cos(u)\big]_{0}^{8} = -\cos(8)+\cos(0) = 1-\cos(8).
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} obtemos o valor final:
\frac{1}{3}\big(1-\cos(8)\big).

Resposta

\displaystyle \frac{1-\cos(8)}{3}

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