Calcule as integrais dos exercícios 13. e 14. pela inversão da ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral por inversão da ordem de integração. A integral dada é
Informações que o enunciado fornece:
- A função integranda é
. - A variável externa
varia de até . - Para cada
, a variável interna varia de até .
A tarefa: trocar a ordem de integração (integrar primeiro eme depois em ) e calcular o valor da integral.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. A condição das variáveis define
Descrevendo as curvas que limitam
:
-
é a parábola que pode ser reescrita como . -
é uma reta horizontal. -
é o eixo vertical à esquerda.
Note que a parábola e a reta se cruzam emquando . Portanto a região é o conjunto de pontos entre a parábola (à direita) e o eixo (à esquerda), com entre e .
Passo 3
Determinar os novos limites para
. Observando a região
, o menor valor de
ocorre quando
, dando
. O maior valor de
vem do limite superior dado,
. Logo
Passo 4
Para um
fixo entre
e
, quais valores
pode assumir dentro de
? A condição
é equivalente a
(e lembrando sempre
). Assim, para cada
em
temos
Passo 5
Escrevendo a integral com a ordem invertida:
Repare que
não depende de
, então a integral interna em
é simples:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Para calcular
usamos a substituição clássica para integrais do tipo
. Seja
Então
Mudança dos limites: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral:
Passo 7
Calcule a integral de
:
Multiplicando pelo fator
obtemos o valor final: