- Calcule a área da região limitada pela curva f(x) = x² pelo eixo x e pelas retas x = -1 e X = 1.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a área da região que está limitada pela curva $ f(x) = x^2 $, pelo eixo x e pelas retas $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integral definida, que nos ajuda a encontrar a área sob uma curva em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = x^2 $. Essa é uma parábola que abre para cima e está simétrica em relação ao eixo y. Queremos encontrar a área entre essa curva, o eixo x e os pontos onde $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Para calcular essa área, vamos usar a integral definida. A integral definida de uma função $ f(x) $ entre $ a $ e $ b $ nos dá a área sob a curva de $ f(x) $ desde $ x = a $ até $ x = b $. A fórmula geral é:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ x^2 $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^3}{3} $. Então:
Como estamos fazendo uma integral definida, o $ C $ (constante de integração) não é necessário.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
Resposta
A área da região limitada pela curva $ f(x) = x^2 $, pelo eixo x e pelas retas $ x = -1 $ e $ x = 1 $ é $ \frac{2}{3} $ unidades de área.