O volume do sólido limitado pelos
planos x 0, x = 2, y = 0, y = 4, z = 0 ez = 4 - y é:
planos x 0, x = 2, y = 0, y = 4, z = 0 ez = 4 - y é:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente quer encontrar o volume de um sólido que está limitado pelos planos $ x = 0 $, $ x = 2 $, $ y = 0 $, $ y = 4 $, $ z = 0 $ e $ z = 4 - y $. Isso é um problema de cálculo de volume usando integrais múltiplas, mais especificamente uma integral tripla. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e limites de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. Os planos $ x = 0 $ e $ x = 2 $ delimitam o sólido ao longo do eixo $ x $. Já $ y = 0 $ e $ y = 4 $ fazem o mesmo ao longo do eixo $ y $. O plano $ z = 0 $ é o fundo, e $ z = 4 - y $ é o teto que inclina em relação ao eixo $ y $.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
Neste caso, nossos limites são:
- $ x $ varia de 0 a 2,
- $ y $ varia de 0 a 4,
- $ z $ varia de 0 a $ 4 - y $.
Passo 4
Vamos montar a integral com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a $ z $.
Passo 5
Integrando em relação a $ z $:
Então, a integral agora fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a $ y $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a $ x $:
Resposta
O volume do sólido é $ 16 $ unidades cúbicas.