O volume do sólido limitado pelos
planos x 0, x = 2, y = 0, y = 4, z = 0 ez = 4 - y é:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente quer encontrar o volume de um sólido que está limitado pelos planos $ x = 0 $, $ x = 2 $, $ y = 0 $, $ y = 4 $, $ z = 0 $ e $ z = 4 - y $. Isso é um problema de cálculo de volume usando integrais múltiplas, mais especificamente uma integral tripla. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e limites de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. Os planos $ x = 0 $ e $ x = 2 $ delimitam o sólido ao longo do eixo $ x $. Já $ y = 0 $ e $ y = 4 $ fazem o mesmo ao longo do eixo $ y $. O plano $ z = 0 $ é o fundo, e $ z = 4 - y $ é o teto que inclina em relação ao eixo $ y $.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
V
Neste caso, nossos limites são:
  • $ x $ varia de 0 a 2,
  • $ y $ varia de 0 a 4,
  • $ z $ varia de 0 a $ 4 - y $.

Passo 4

Vamos montar a integral com esses limites:
V = integral0^2 integral0^4 integral0^4 - y dz , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a $ z $.

Passo 5

Integrando em relação a $ z $:
z
Então, a integral agora fica:
integral0^4 - y dz = z gr|0^4 - y = (4 - y) - 0 = 4 - y

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a $ y $:
y
Então, a integral fica:
integral0^4 (4 - y) , dy = integral0^4 4 , dy - integral0^4 y , dy = 4y gr|0^4 - 12 y^2 gr|0^4 = (16 - 0) - (8 - 0) = 8

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a $ x $:
x

Resposta

O volume do sólido é $ 16 $ unidades cúbicas.

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