Calcule a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - A região pedida é a porção do plano limitada por essas duas curvas (fechada).
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção das curvas (os limites da região). Para isso, usaremos que a reta dá
em função de
: da reta
temos
Substituindo na parábola
obtemos
Desenvolvendo,
Fatorando o polinômio:
logo as soluções são
e
.
Passo 3
Agora obtemos as coordenadas
correspondentes usando
:
- Para
: . Ponto de interseção . - Para
: . Ponto de interseção .
Esses são os valores extremos de
na região limitada:
.
Passo 4
Vamos escolher como integrar. É conveniente usar fatias horizontais (integrar em
), porque ambas as curvas podem ser escritas como
função de
:
- Da parábola
temos
- Da reta
já temos
Para cada
entre
e
, a posição horizontal da reta é mais à direita que a da parábola (por exemplo, em
temos
e
). Portanto a largura da fatia horizontal é
A fórmula da área por integração em
é
Passo 5
Vamos integrar termo a termo. Primeiro, escrevo a primitiva (antiderivada) da função integranda:
Calculando cada termo:
Portanto a primitiva é
Passo 6
Avaliamo
nos limites
e
e subtraímos
.
Calcule
:
Reduzindo
, obtemos
Calcule
:
Reduzindo
, obtemos
Agora a área:
Passo 7
Pronto! Concluímos que a área da região limitada pelas curvas é
. Boa! Você conseguiu seguir todos os passos — respirar fundo e praticar mais exercícios desse tipo vai deixar isso cada vez mais automático.