Calcule a área da região limitada pelas curvas y^{2}=2 x e \mathrm{y}=\mathrm{x}-4.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas y^{2}=2x e y=x-4.
Informações dadas:
  • Curva 1: y^{2}=2x.
  • Curva 2: y=x-4.
  • A região pedida é a porção do plano limitada por essas duas curvas (fechada).

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção das curvas (os limites da região). Para isso, usaremos que a reta dá x em função de y: da reta y=x-4 temos
x=y+4.
Substituindo na parábola y^{2}=2x obtemos
y^{2}=2(y+4).
Desenvolvendo,
y^{2}=2y+8 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-2y-8=0.
Fatorando o polinômio:
y^{2}-2y-8=(y-4)(y+2)=0,
logo as soluções são y=4 e y=-2.

Passo 3

Agora obtemos as coordenadas x correspondentes usando x=y+4:
  • Para y=4: x=4+4=8. Ponto de interseção (8,4).
  • Para y=-2: x=-2+4=2. Ponto de interseção (2,-2).
Esses são os valores extremos de y na região limitada: y\in[-2,4].

Passo 4

Vamos escolher como integrar. É conveniente usar fatias horizontais (integrar em y), porque ambas as curvas podem ser escritas como x= função de y:
  • Da parábola y^{2}=2x temos
x=\frac{y^{2}}{2}.
  • Da reta y=x-4 já temos
x=y+4.
Para cada y entre -2 e 4, a posição horizontal da reta é mais à direita que a da parábola (por exemplo, em y=0 temos x_{\text{reta}}=4 e x_{\text{parábola}}=0á). Portanto a largura da fatia horizontal é
\text{largura} = x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} = (y+4) - \frac{y^{2}}{2}.
A fórmula da área por integração em y é
\text{Área}=\int_{y=-2}^{4}\bigl((y+4)-\tfrac{y^{2}}{2}\bigr)\,dy.Á

Passo 5

Vamos integrar termo a termo. Primeiro, escrevo a primitiva (antiderivada) da função integranda:
\int\bigl((y+4)-\tfrac{y^{2}}{2}\bigr)\,dy = \int y\,dy + \int 4\,dy - \tfrac{1}{2}\int y^{2}\,dy.
Calculando cada termo:
\int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2},\qquad \int 4\,dy = 4y,\qquad \int y^{2}\,dy = \tfrac{1}{3}y^{3}.
Portanto a primitiva é
F(y)=\tfrac{1}{2}y^{2}+4y-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}y^{3} =\tfrac{1}{2}y^{2}+4y-\tfrac{1}{6}y^{3}.

Passo 6

Avaliamo F nos limites y=4 e y=-2 e subtraímos F(4)-F(-2).
Calcule F(4):
F(4)=\tfrac{1}{2}\cdot 4^{2}+4\cdot 4-\tfrac{1}{6}\cdot 4^{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 16 + 16 - \tfrac{1}{6}\cdot 64 =8+16-\tfrac{64}{6}.
Reduzindo \tfrac{64}{6}=\tfrac{32}{3}, obtemos
F(4)=24-\tfrac{32}{3}=\tfrac{72-32}{3}=\tfrac{40}{3}.
Calcule F(-2):
F(-2)=\tfrac{1}{2}\cdot(-2)^{2}+4\cdot(-2)-\tfrac{1}{6}\cdot(-2)^{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 -8 -\tfrac{1}{6}\cdot(-8) =2-8 + \tfrac{8}{6}.
Reduzindo \tfrac{8}{6}=\tfrac{4}{3}, obtemos
F(-2)= -6 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{-18+4}{3} = -\tfrac{14}{3}.
Agora a área:
\text{Área}=F(4)-F(-2)=\tfrac{40}{3}-\bigl(-\tfrac{14}{3}\bigr)=\tfrac{40+14}{3}=\tfrac{54}{3}=18.Á

Passo 7

Pronto! Concluímos que a área da região limitada pelas curvas é 18. Boa! Você conseguiu seguir todos os passos — respirar fundo e praticar mais exercícios desse tipo vai deixar isso cada vez mais automático.

Resposta

18

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