Calcule a área da região limitada pelas curvas 2 y^{2}=x+4 e \mathrm{y}^{2}=x

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas 2y^{2}=x+4 e y^{2}=x.\n
Informações dadas:
  • Curva 1: 2y^{2}=x+4.
  • Curva 2: y^{2}=x.
  • A região pedida é a região do plano que fica entre essas duas curvas onde elas se interceptam.

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, resolvemos o sistema
\begin{cases} 2y^{2}=x+4,\\[4pt] y^{2}=x. \end{cases}
Substituindo x=y^{2} na primeira equação obtemos
2y^{2}=y^{2}+4.
Isolando os termos,
2y^{2}-y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=4.
Logo
y=\pm 2.
Os pontos de interseção correspondentes têm x=y^{2}=4. Portanto os pontos de interseção são (4,2) e (4,-2).]

Passo 3

Vamos decidir como calcular a área. As duas curvas podem ser escrevas como funções de y (isto é, x em função de y):
x_{1}(y)=y^{2}\quad\text{(da curva }y^{2}=x\text{)}
x_{2}(y)=2y^{2}-4\quad\text{(da curva }2y^{2}=x+4\text{, isolando }x\text{).}
Quando as fronteiras de uma região são dadas por duas funções x=f(y) e x=g(y) e a região é limitada verticalmente por y=a e y=b, a área entre elas é dada pela fórmula
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.Á
Aqui usamos integração em relação a y porque ambas as curvas estão naturalmente expressas como x= função de y, o que torna o cálculo direto.

Passo 4

Precisamos saber qual curva está à direita (maior x) e qual está à esquerda para y no intervalo de interseção -2\le y\le 2. Compare as duas expressões:
x_{1}(y)-x_{2}(y)=y^{2}-(2y^{2}-4)=4-y^{2}.
Para |y|<2 temos 4-y^{2}>0, portanto x_{1}(y)=y^{2} é a curva mais à direita e x_{2}(y)=2y^{2}-4 é a mais à esquerda no intervalo de interesse. Nos extremos y=\pm2 ambas dão x=4, como já vimos.

Passo 5

Agora montamos a integral da área entre y=-2 e y=2:
\text{Área}=\int_{-2}^{2}\bigl(y^{2}-(2y^{2}-4)\bigr)\,dy=\int_{-2}^{2}\bigl(4-y^{2}\bigr)\,dy.Á
Observação didática: a função integranda 4-y^{2} é par (ou seja, (4-(-y)^{2})=4-y^{2}), então podemos usar a simetria e escrever
\int_{-2}^{2}\bigl(4-y^{2}\bigr)\,dy=2\int_{0}^{2}\bigl(4-y^{2}\bigr)\,dy,
o que às vezes facilita a conta. Vou calcular usando essa simetria.
Calcule a primitiva de 4-y^{2}. Antiderivada de 4 em relação a y é 4y. Antiderivada de -y^{2} é -\dfrac{y^{3}}{3}. Portanto uma primitiva é
F(y)=4y-\frac{y^{3}}{3}.
Aplicando os limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(4-y^{2}\bigr)\,dy = \Bigl[4y-\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(4\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3}\Bigr)-\Bigl(0-0\Bigr) = 8 - \frac{8}{3}.
Simplificando,
8-\frac{8}{3}=\frac{24}{3}-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Agora, por simetria, a integral de -2 a 2 vale o dobro:
\text{Área}=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}.Á

Passo 6

Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é \dfrac{32}{3} (unidades de área).

Resposta

\dfrac{32}{3}

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