Calcule a área da região limitada pelas curvas
e
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - A região pedida é a região do plano que fica entre essas duas curvas onde elas se interceptam.
Passo 2
Primeiro vamos achar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, resolvemos o sistema
Substituindo
na primeira equação obtemos
Isolando os termos,
Logo
Os pontos de interseção correspondentes têm
. Portanto os pontos de interseção são
e
.]
Passo 3
Vamos decidir como calcular a área. As duas curvas podem ser escrevas como funções de
(isto é,
em função de
):
Quando as fronteiras de uma região são dadas por duas funções
e
e a região é limitada verticalmente por
e
, a área entre elas é dada pela fórmula
Aqui usamos integração em relação a
porque ambas as curvas estão naturalmente expressas como
função de
, o que torna o cálculo direto.
Passo 4
Precisamos saber qual curva está à direita (maior
) e qual está à esquerda para
no intervalo de interseção
. Compare as duas expressões:
Para
temos
, portanto
é a curva mais à direita e
é a mais à esquerda no intervalo de interesse. Nos extremos
ambas dão
, como já vimos.
Passo 5
Agora montamos a integral da área entre
e
:
Observação didática: a função integranda
é par (ou seja,
), então podemos usar a simetria e escrever
o que às vezes facilita a conta. Vou calcular usando essa simetria.
Calcule a primitiva de
. Antiderivada de
em relação a
é
. Antiderivada de
é
. Portanto uma primitiva é
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando,
Agora, por simetria, a integral de
a
vale o dobro:
Passo 6
Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é
(unidades de área).